Zeta funktio laillistamiseen

Matematiikan ja teoreettisen fysiikan, Zeta funktio laillistaminen on eräänlainen laillistamiseen tai summability menetelmä, joka määrittää rajallinen arvot vaihtelevien summia tai tuotteita, ja erityisesti voidaan käyttää määrittelemään tekijöihin ja jälkiä jotkut itsensä adjoint toimijoille. Tekniikka on nyt yleisesti sovellettu ongelmia fysiikan, mutta juuret lopettamisyritykset tarkka merkityksiä huonosti ilmastoiduissa summia esiintyvä lukuteoria.

Määritelmä

On olemassa useita eri summattu menetelmiä kutsutaan Zeta funktio laillistamista määrittelemiseksi summa mahdollisesti poikkeavia sarja a1 + a2 + ....

Yksi menetelmä on määrittää sen zeta säädellään summa on ζA jos se on määritelty, kun zeta-toiminto on määritelty Re laaja,

jos tämä summa suppenee, ja analyyttinen jatkaminen muualla.

Siinä tapauksessa, = n, Zeta funktio on tavallinen Riemannin Zeta funktio, ja tätä menetelmää on käytetty Euler ja "summa" sarja 1 + 2 + 3 + 4 + ... ja ζ = -1/12.

Muut arvot s voidaan käyttää myös määrittää arvot erilaisia ​​summia ζ = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ = 1 + 4 + 9 + ... = 0 ja yleisesti , jossa Bk on Bernoulli numero.

Hawking osoitti, että tasainen tila, jossa ominaisarvot Laplacians tunnetaan, Zeta funktio, joka vastaa partitiofunktio voidaan laskea erikseen. Harkitse skalaarikenttä φ sisältämien suuri laatikko tilavuus V tasainen avaruuden lämpötilassa T = β. Partitiofunktio määritellään polku kiinteä kaikkien kenttien φ on euklidinen avaruus saatu laittamalla τ = se jotka ovat nolla seinille laatikosta ja jotka ovat ajoittain vuonna τ jaksolla β. Tässä tilanne partitiofunktio hän laskee energian, entropia ja paine säteilyn kentän φ. Jos tasainen tilat ominaisarvot esiintyvät fyysiset määrät ovat yleisesti tunnettuja, kun taas tapauksessa kaarevat tilaa ne eivät ole tiedossa: tässä tapauksessa asymptoottinen menetelmiä tarvitaan.

Toinen menetelmä määrittelee mahdollisesti poikkeavia ääretön tuote a1a2 .... olevan exp (-ζ'A). Ray & amp; Singer käytti tätä määritellä tekijä positiivisen itsensä adjoint operaattori kanssa ominaisarvot A1, A2, ...., ja tässä tapauksessa Zeta funktio on muodollisesti jälkeäkään A. Minakshisundaram & amp; Pleijel osoitti, että jos A on Laplacen kompakti Riemannin moninaiset sitten Minakshisundaram-Pleijel Zeta funktio suppenee ja on analyyttinen jatkaminen kuin meromorphic funktiona kaikille kompleksiluvut, ja Seeley laajennettu tämän soikea pseudo-ero operaattorit Compact Riemannin keräimet . Joten kyseiset operaattorit voidaan määritellä tekijä käyttäen Zeta funktio laillistamisen. Katso "analyyttinen vääntö."

Hawking ehdotti tällä ajatus arvioida polku integraaleja kaareva spacetimes. Hän opiskeli Zeta funktio laillistamisella laskemiseksi jakamisfunktiot lämpö- gravitonin ja asia on Quanta vuonna kaareva tausta kuten horisontissa mustien aukkojen ja de Sitter taustoja nähden käänteisessä Mellin siirtymistä jälkeäkään ytimen lämmön yhtälöt.

Esimerkki

Ensimmäinen esimerkki, jossa Zeta funktio laillistaminen on käytettävissä näkyy Casimir vaikutus, joka on tasainen tilaa suurin panosta kvantti kentän kolmessa sisämitat. Tässä tapauksessa meidän on laskettava arvo Riemannin Zeta funktio -3, joka poikkeaa selvästi. Kuitenkin, se voidaan analyyttisesti edelleen t = -3, jossa toivottavasti ei ole napa, mikä antaa äärellinen arvo ilmaisua. Yksityiskohtainen esimerkki tästä laillistamista työssä annetaan artikkeli yksityiskohtaisesti esimerkki Casimir vaikutus, silloin kun saatu summa on hyvin selvästi Riemannin zeta-funktio.

Esimerkki Zeta-toiminto laillistaminen on laskettaessa tyhjiö odotusarvo energian hiukkasen kentän Kvanttikenttäteoria. Yleisemmin, Zeta-toiminto lähestymistapaa voidaan käyttää säännönmukaistettava koko energia-vauhtia tensor kaarevissa aika-avaruuteen.

Sääntelemätöntä arvo energia saadaan summattu yli nollapiste-energia kaikkien heräte liikennemuotojen tyhjiö:

Täällä on nollas osa energiaa vauhtia tensor ja summa ymmärretään ulotuttava kaikkiin energia liikennemuotoihin; itseisarvo muistuttaen, että energia otetaan olevan positiivinen. Tämä summa, kuten kirjoitettu, on yleensä ääretön. Summa voidaan laillistaa kirjoittamalla sen

missä s on jonkin parametrin, jonka on oltava kompleksiluvun. Suurten, todellinen s suurempi kuin 4, summa on selvästi rajallinen, ja näin voidaan usein arvioida teoreettisesti.

Zeta-laillistaminen on hyödyllistä, sillä se voidaan usein käyttää sillä tavoin, että eri symmetrioihin fyysisen järjestelmän säilyvät. Zeta-toimintoa laillistaminen käytetään conformal alalla teoriassa uudelleennormalisointilohkossa ja vahvistaessaan kriittinen aika-avaruuden ulottuvuutta säieteorian.

Suhde muihin regularizations

Voimme kysyä, onko olemassa mitään yhteyttä kolmiulotteinen laillistamista lähtöisin Feynman kaavio. Mutta nyt voimme sanoa ne vastaavat toisiaan. Kuitenkin suurin etu zeta laillistaminen on, että sitä voidaan käyttää aina, kun kolmiulotteinen laillistamista epäonnistuu, esimerkiksi jos on olemassa matriiseja tai tensors sisällä laskelmat

Suhde Dirichlet'n sarja

Zeta-toiminto laillistamista antaa mukavan analyyttinen rakenne Kaikkiin määriin yli aritmeettinen funktio f. Tällaiset summat kutsutaan Dirichlet'n sarja. Säännönmukaistettu muoto

muuntaa kiistakysymykset summan yksinkertainen navat monimutkainen s-tason. Vuonna numeerisia laskuja, Zeta-toiminto laillistaminen on sopimaton, koska se on erittäin hidas lähentyä. Numeerisen tarkoituksiin, nopeammin konvergoituvat summa on eksponentiaalinen laillistamista, antama

Tätä kutsutaan joskus Z-muunnos f, missä z = exp. Analyyttinen rakenne räjähdysmäinen ja zeta-regularizations liittyvät. Laajentamalla eksponentiaalinen summan Laurentin sarja

voidaan todeta, että zeta-sarja on rakenne

Rakenne räjähdysmäinen ja zeta-sääntelyviranomaisten liittyvät avulla Mellin muunnoksen. Yksi voidaan muuntaa muihin hyödyntämällä kiinteä edustus Gammafunktio:

jotka johtavat henkilöllisyyden

liittyvät eksponentiaalinen ja zeta-sääntelyviranomaisten, ja muuntaa pylväiden s-tason erilaisiin ehdot Laurentin sarja.

Lämpö ytimen laillistamiseen

Summa

kutsutaan joskus lämpöä ydin tai lämpöä ydin laillistaa summa; tämä nimi johtuu ajatus, että voi joskus ymmärrettävä ominaisarvot lämmön ytimen. Matematiikan, tällaista summaa kutsutaan yleinen Dirichlet'n sarja; sen käytöstä keskiarvon tunnetaan Abelin keskiarvona. Se liittyy läheisesti Laplace-Stieltjes muunnos, että

jossa on askel toiminto, jossa vaiheet on. Useita teoreemojen lähentymistä tällaisen sarjan olemassa. Esimerkiksi Hardy-Littlewood Tauberian lause, jos

sitten sarja suppenee puolitasossa ja on tasaisesti yhtenevät jokaisella kompakti osajoukko puolitasossa. Lähes kaikki sovellukset fysiikka, yksi on

Historia

Suuri osa alkuvaiheen perustamisesta lähentymistä ja vastaavuutta sarjan sääntöjen mukaisiksi kanssa lämpö ytimen ja Zeta funktio laillistamista menetelmiä tehtiin GH Hardy ja JE Littlewood vuonna 1916 ja perustuu soveltamisesta Cahen-Mellin kiinteä. Pyrittiin saadakseen arvoja eri huonosti määritelty, ehdollisesti yhtenevät summia esiintyy lukuteoria.

Mitä hakemuksen säädin fyysisiä ongelmia, ennen Hawking, J. Stuart Dowker ja Raymond Critchley vuonna 1976 ehdotti Zeta-toiminto laillistaminen menetelmä kvantti fyysisiä ongelmia. Emilio Elizalde ja muut ovat myös ehdottaneet perustuva menetelmä zeta laillistamista varten integraaleja, tässä säädin ja erilaiset kiinteä riippuu numerot raja katso uudelleennormalisointilohkossa. Myös toisin kuin muut regularizations kuten kolmiulotteinen laillistaminen ja analyyttinen laillistaminen, zeta laillistamista ei ole counterterms ja antaa vain rajallinen tuloksia.

  0   0
Seuraava artikkeli IBM: 270x

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha