Todennäköisyys aksioomat

Vuonna Kolmogorov n todennäköisyys teoria, todennäköisyys P jostakin tapahtumasta E, merkitty, on yleensä määritelty siten, että p täyttää Kolmogorov aksioomat, nimetty kuuluisan venäläisen matemaatikko Andrei Kolmogorov, joka on kuvattu alla.

Nämä oletukset voidaan tiivistää: Antaa olla toimenpide tilaa P = 1. Sitten on todennäköisyysavaruus, näytteen tilaa Ω, kokoustiloja F ja todennäköisyysmitta P.

Vaihtoehtoinen lähestymistapa virallistamista todennäköisyys, suosiman jotkut Bayesians, saadaan Coxin lause.

Aksioomat

Ensimmäinen selviö

Todennäköisyys tapahtuma on ei-negatiivinen todellinen määrä:

jossa on kokoustilaa. Erityisesti on aina rajallinen, toisin yleisempiä Mittateoria. Teorioita, jotka antaa negatiivinen todennäköisyys rentoutua ensimmäinen selviö.

Toinen selviö

Tämä on oletus mittayksikköä: että todennäköisyys, että jotkut alkeistapahtumatietoja koko otosavaruuden tapahtuu on 1. Tarkemmin sanottuna ei ole alkeistapahtumat ulkopuolella otosavaruuden.

Tämä on usein unohdetaan joissakin väärässä todennäköisyys laskelmat; jos et voi tarkasti määritellä koko otosavaruuden, niin todennäköisyys tahansa osajoukko ei voida määritellä joko.

Kolmas selviö

Tämä on oletus σ-additiivisuuteen:

Jotkut kirjoittajat pitävät vain äärellinen lisäaine todennäköisyys tilat, jolloin yksi vain tarvitsee algebran sarjojen sijasta σ-algebra. Quasiprobability jakaumat yleensä rentoutua kolmas selviö.

Seuraukset

Vuodesta Kolmogorov aksioomat, voidaan päätellä muita hyödyllisiä säännöt laskettaessa todennäköisyyksiä.

Todennäköisyys tyhjä joukko

Monotonicity

Numeerinen sidottu

Tästä välittömästi seuraa monotonicity omaisuutta, joka

Todisteet

Todisteet näistä ominaisuuksista ovat molemmat mielenkiintoisia ja oivaltavia. Ne kuvaavat voima kolmannen selviö, ja sen vuorovaikutus loput kaksi aksioomat. Kun opiskelu itsestään selvää todennäköisyys teoria, monet syvä seuraukset seuraa vain näitä kolmea aksioomat. Sen varmistamiseksi, monotonicity omaisuutta, asetamme ja, missä varten. On helppo nähdä, että asetetaan ovat pareittain pistevieraita ja. Näin ollen saadaan kolmannesta selviö, että

Koska vasemmalla puolella tämä yhtälö on useita ei-negatiivisia lukuja, ja että se konvergoi joka on äärellinen, saadaan molemmat ja. Toinen osa lausuman näkyy ristiriita: jos sitten vasen puoli on vähintään

Jos niin saamme ristiriita, koska summa on enintään joka on rajallinen. Täten ,. Olemme osoittaneet sivutuotteena todiste monotonicity että.

Muita seurauksia

Toinen tärkeä ominaisuus on:

Tätä kutsutaan lisäksi lain todennäköisyyden tai summasääntö. Että on, todennäköisyys, että A tai B tapahtuu on summa todennäköisyydet, että tapahtuu ja että B tapahtuu, miinus todennäköisyys, että sekä A että B tulee tapahtumaan. Todisteena tästä on seuraava:

nyt ,.

Poistaminen sekä yhtälöt antaa meille toivottua tulosta.

Tämä voidaan laajentaa Seulayhtälö periaate.

Että on, todennäköisyys, että missään tapauksessa ei tapahdu on 1 vähennettynä todennäköisyys, että se tulee.

Yksinkertainen esimerkki: arvonnassa

Tarkastellaan yhden kolikon nakata, ja olettaa, että kolikko on joko maa Kruuna vai klaava. Ei oletetaan, siitä kolikko on oikeudenmukainen.

Voimme määritellä:

Kolmogorov n aksioomat tarkoita sitä, että:

Todennäköisyys ei päätä eikä häntää, on 0.

Todennäköisyys joko Kruuna vai klaava, on 1.

Summa todennäköisyys päätä ja todennäköisyys hännät, on 1.

  0   0
Edellinen artikkeli Mother Goose proosamuodossa
Seuraava artikkeli Itajubá

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha