Rakentava joukko-oppi

Rakentava joukko-oppi on lähestymistapa matemaattinen konstruktivismiin seuraava ohjelma aksiomaattinen joukko-oppi. Eli se käyttää tavallista ensimmäisen kertaluvun kielen klassisen joukko-oppi, ja vaikka tietysti logiikka on rakentava, ei ole nimenomaista käyttöä rakentavan tyyppejä. Pikemminkin on vain asettaa, joten se voi näyttää hyvin paljon klassista matematiikkaa tehnyt yleisin säätiöt, nimittäin Zermelo-Fraenkel aksioomat.

Intuitionistic Zermelo-Fraenkel

Vuonna 1973, John Myhill ehdotti järjestelmää joukko-oppi perustuu intuitionistic logiikkaan ottaen yleisin säätiö, ZFC, ja heittää pois selviö valinnan ja lain ulkopuolelle keskellä, jättäen kaikki muu kuin on. Kuitenkin eri joidenkin ZFC aksioomat, jotka ovat vastaavia klassisessa ympäristössä ovat inequivalent rakentavassa ympäristössä, ja joitakin muotoja merkitse LEM.

Järjestelmä, joka on tullut tunnetuksi IZF, tai intuitionistic Zermelo-Fraenkel, on tavallista aksioomat extensionality, pariksi, liitto, ääretön, erottaminen ja teho asetettu. Axiom säännöllisyyttä on esitetty muodossa selviö skeema asettaa induktio. Lisäksi, vaikka Myhill käytetään Axiom skeema korvaavan hänen järjestelmä, IZF yleensä tarkoittaa versio kokoelma

Vaikka selviö korvaaminen vaatii suhteessa φ olla funktio yli asetetun, selviö keruu ei: se vaaditaan ainoastaan ​​siinä liitetään ainakin yhden y ja se väittää, että on olemassa joukko, joka kerää vähintään yksi tällainen y kunkin tällaisen x. Axiom on säännöllisyys, koska se on yleensä todettu merkitsee LEM, kun taas muodossa joukko induktio ei. Muodollinen lausunnot näiden kahden skeemat ovat:

Lisäämällä LEM takaisin IZF tuloksia ZF, kuten LEM tekee kokoelma vastaavia vaihto ja asettaa induktio vastaa säännöllisyys. Jopa ilman LEM, IZF n proof-teoreettinen teho on sama kuin ZF.

Predicativity

Vaikka IZF perustuu rakentavaan eikä niinkään klassisen logiikka, se katsotaan impredicative. Se mahdollistaa muodostumisen sarjojen selviö erottaminen mitään ehdotusta, mukaan lukien ne, jotka sisältävät quantifiers jotka eivät ole rajoitettu. Näin uusi sarjaa voidaan muodostaa suhteen maailmankaikkeuden kaikkien sarjaa. Lisäksi valta asettaa selviö merkitsee kyse on joukosta totuuden arvoja. Läsnäollessa LEM, Tästä on olemassa ja on kaksi elementtiä. Puuttuessa se, joukko totuuden arvoja pidetään myös impredicative.

Myhill rakentavaa joukko-oppi

Aihe aloitettiin John Myhill antaa virallisen perustan Errett Piispan ohjelma rakentavan matematiikka. Kun hän esitteli sen, Myhill järjestelmä CST on rakentava ensimmäisen kertaluvun logiikan kanssa kolmentyyppistä: luonnolliset luvut, toiminnot, ja asettaa. Järjestelmä on:

  • Rakentava ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan identiteettiin, ja perus aksioomat liittyvät kolmentyyppistä.
  • Tavallinen Peano aksioomat luonnollisille luvuille.
  • Tavallinen aksiooma extensionality sarjaa sekä yksi toiminnoista, ja tavallista aksioomasta unionin.
  • Muoto Axiom äärettömyyden väittäessään, että kokoelma luonnolliset luvut on itse asiassa joukko.
  • Aksioomat väittää, että verkkotunnus ja valikoima toiminta ovat molemmat. Lisäksi, aksiooma ei-valinta väittää olemassaolon valinta toiminto silloin, kun valinta on jo tehty. Yhdessä nämä toimivat kuten tavallista korvaavan selviö klassiseen joukko-oppi.
  • Axiom on eksponenttilausekkeet, väittäen, että minkä tahansa kahden, on kolmas sarja, joka sisältää kaikki toiminnot, joiden verkkotunnus on ensimmäiset, ja jonka kantama on toinen joukko. Tämä on huomattavasti heikentynyt muoto Axiom vallan asetettu klassisen joukko-oppi, johon Myhill, muun muassa vastusti vedoten sen impredicativity.
  • Axiom on rajoitettua, tai predikatiivinen, erottaminen, joka on heikentynyt muoto erottaminen selviö klassisen joukko-oppi, vaatimalla, että määrällisiä rajata toiselle ryhmälle.
  • Selviö riippuvan valinnan, joka on paljon heikompi kuin tavallista selviö valinta.

Aczel rakentava Zermelo-Fraenkel

Peter Aczel rakentava Zermelo-Fraenkel, tai CZF, on olennaisesti IZF sen impredicative ominaisuuksia poistettu. Se vahvistaa keräysjärjestelmän, ja sitten laskee impredicative valta asettaa aksiooma ja korvaa sen toisella keräysjärjestelmän. Lopuksi erottaminen Axiom on rajoitettu, kuten Myhill n CST. Tämä teoria on suhteellisen yksinkertainen tulkinta versio rakentavan tyyppi teoria ja on vaatimaton todiste teoreettinen voimaa sekä melko suora rakentavaa ja predikatiivinen perustelut, säilyttäen kieli set theory. Lisäämällä LEM Tämän teorian myös palauttaa koko ZF.

Kokoelma aksioomat ovat:

Vahva kokoelma skeema: Tämä on rakentava korvaa Axiom skeema korvaamisesta. Siinä todetaan, että jos φ on binäärirelaatio välillä vahvistetaan joka on yhteensä yli tietyn verkkotunnuksen joukko, niin on olemassa joukko, joka sisältää ainakin yhden kuvan alle φ jokaisen osa verkkotunnuksen, ja vain kuvia elementtejä verkkotunnuksen. Muodollisesti mitään kaavaa φ:

Osajoukko kokoelma skeema: Tämä on rakentava versio asetetulla teholla selviö. Muodollisesti mitään kaavaa φ:

Tämä vastaa yhden ja hieman selkeämpi Axiom täyteyden: minkä tahansa kaksi ja b, on joukko C, joka sisältää yhteensä subrelation tahansa koko suhdetta ja b, joka voidaan koodata joukkona tilata paria. Muodollisesti:

jossa viittaukset P määritellään:

ja jotkut joukko-koodausta järjestetty pari & lt; x, y & gt; oletetaan.

Axiom täyteyden merkitsee CST: n aksiooma eksponenttilausekkeet: annetaan kaksi, kokoelma kaikkia yhteensä toimintoja yhdestä toinen on myös itse asiassa joukko.

Loput aksioomat CZF ovat: aksioomat extensionality, pariksi, liitto, ja ääretön ovat samat kuin ZF; ja asettaa induktio ja predikatiivinen erottaminen ovat samat kuin edellä.

Tulkittavuutta tyypin teoriassa

Vuonna 1977 Aczel osoitti, että CZF voidaan tulkita Martin-Löf tyyppi teoria, joka tarjoaa mitä nyt nähdään vakiomallin CZF tyypin teoriassa. Vuonna 1989 Ingrid Lindström osoitti, että ei-perusteltu setit saadaan korvaamalla selviö säätiön CZF kanssa Aczel anti-säätiö aksiooma voidaan myös tulkita Martin-Löf tyyppinen teoria.

Tulkittavuutta vuonna kategoriateoria

Presheaf malleja rakentavalle joukko-oppi otettiin käyttöön Nicola GAMBINO vuonna 2004. Ne ovat analogisia Presheaf malleja intuitionistic joukko-oppi kehittämä Dana Scottin 1980-luvulla.

  0   0
Edellinen artikkeli Martinez de Pasqually
Seuraava artikkeli Gathering Sininen

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha