Lukuteoria

Lukuteoria on osa puhdasta matematiikkaa omistettu ensisijaisesti tutkimuksen kokonaisluvut, joskus kutsutaan "Queen of matematiikka", koska sen perustava paikkansa kurinalaisuutta. Numero teoreetikot opiskella alkulukuja sekä objektien ominaisuuksia valmistettu kokonaislukuja tai määritellään yleistyksiä kokonaislukuja.

Kokonaisluvut voidaan pitää joko itse tai ratkaisuja yhtälöt. Kysymyksiä lukuteoria usein ymmärretään parhaiten tutkimalla analyyttisen esineitä, jotka koodaavat ominaisuudet kokonaislukujen, alkulukuja tai muu numero-theoretic esineitä jollakin tavalla. Voidaan myös tutkia todellinen määrä suhteessa rationaalilukuja, esimerkiksi, kuten yhdenmukaistamisen jälkimmäisen.

Vanhempi termi lukuteoria on aritmeettinen. Vuoteen vuosisadan alkupuolen, se oli korvattu "lukuteoria". Termin aritmeettinen varten lukuteoria vahvistunut noin kentällä jälkipuoliskolla 20. vuosisadan, luultavasti johtuu osittain Ranskan vaikutusvaltaa. Erityisesti aritmeettinen on edullinen adjektiivi numeroon teoreettista.

Historia

Tekijä

Dawn of aritmeettinen

Ensimmäinen historiallinen löytö aritmeettinen luonto on fragmentti taulukon: rikki savi tabletti Plimpton 322 sisältää luettelon "Pythagoraan kolminkertaistuu", eli kokonaislukuja niin, että. Kolminkertaistaa on liikaa ja liian suuri on saatu raa'alla voimalla. Otsikko yli ensimmäisessä sarakkeessa lukee: "takiltum lävistäjä joka on vähennetty niin, että leveys ..."

Pöydän ulkoasu viittaa siihen, että se oli rakennettu avulla kuinka paljon, modernin kielellä, identiteetin

joka on epäsuorasti rutiini Vanha Babylonian harjoituksia. Jos jotakin muuta menetelmää käytettiin, kolminkertaistaa ensin rakennettu ja sitten järjestetään uudestaan, oletettavasti todellinen käytettäväksi "taulukko", eli jotta sovelluksiin.

Ei tiedetä, mitä nämä sovellukset voivat olla, vai onko voinut olla mitään; Babylonian tähtitiede, esimerkiksi todella kukallinen vasta myöhemmin. On ehdotettu, sen sijaan, että taulukko oli lähde numeerinen esimerkkejä koulun ongelmia.

Vaikka Babylonian lukuteoria tai mitä selviää Babylonian matematiikka, jota voidaan kutsua koostuu siis tämän yhden, silmiinpistävää fragmentti, Babylonian algebra on poikkeuksellisen hyvin kehittynyt. Late uusplatonilaiseen lähteiden mukaan Pythagoras oppinut matematiikan babylonialaiset. Paljon aikaisemmin lähteiden mukaan Thales ja Pythagoras matkusti ja opiskeli Egyptissä.

Euclid IX 21 34 on hyvin todennäköisesti Pythagoraan; se on hyvin yksinkertainen materiaali, mutta se on kaikki mitä tarvitaan osoittamaan, että on irrationaalinen. Pythagoraan mystikot antoi erittäin tärkeänä outoa ja jopa. Löytö, että on irrationaalinen hyvitetään aikaisin Pythagoreans. Paljastamalla, ettei määrä voi olla järjetön, tämä löytö näyttää provosoi ensimmäinen perustava kriisi matematiikan historia; sen todisteet tai sen ilmaiseminen joskus hyvitetään Hippasos, jotka karkotettiin tai erotettu Pythagoraan lahko. On vain täällä, että voimme alkaa puhua selkeä, tietoinen jako numerot ja pituudet.

Pythagoraan perinne puhui myös ns monikulmion tai kuviolukujen. Vaikka neliö numerot, kuutio numerot, jne., Nähdään nyt luonnollisemmalta kuin kolmiolukua, neliö numerot, viisikulmainen numerot, jne, tutkimus summia kolmion ja viisikulmainen numerot osoittautuisi hedelmälliseksi alussa modernin ajan.

Emme tunne mitään selvästi laskennallinen muinaisen Egyptin tai Veda lähteistä, vaikka joitain algebra molemmissa. Kiinalainen jäännöslause näkyy harjoituksen Sun Zi n Suan Ching

Mukana on myös numeerinen mystiikka Kiinan matematiikan, mutta, toisin kuin Pythagoreans, se näyttää johtaneet mihinkään. Kuten Pythagoralaiset "täydellinen numeroita, magic neliöt on kulunut taikauskon osaksi virkistäytymiseen.

Klassinen Kreikka ja varhaisen hellenistisen ajan

Lukuunottamatta muutamia fragmenteista, matematiikka Klassinen Kreikka tiedetään meille joko raportit nykyajan ei-matemaatikot tai matemaattisia teoksia alussa hellenistisen ajan. Kun kyseessä on lukuteoria, tämä tarkoittaa, yleensä, Platon ja Euclid, vastaavasti.

Platon oli innokas kiinnostusta matematiikkaan, ja erottaa selvästi toisistaan ​​aritmeettinen ja laskentaan. Se on kautta yksi Platonin dialogit eli Theaetetus - että me tiedämme, että Theodorus oli osoittautunut, jotka ovat irrationaalisia. Theaetetus oli, kuten Platon, opetuslapsi Theodorus n; hän työskenteli erottaa erilaisia ​​incommensurables, ja oli siten todennäköisesti edelläkävijä tutkimuksessa Lukujärjestelmien.

Euclid omistettu osa hänen elementtejä alkulukuja ja jaollisuus, aiheista, jotka kuuluvat yksiselitteisesti lukuteoria ja ovat perus siihen. Erityisesti hän antoi algoritmi suurin yhteinen tekijä kaksi numeroa ja ensimmäinen tunnettu todiste loputtomasti alkulukuja.

Vuonna 1773, Lessing julkaisi kompa hän oli löytänyt käsikirjoituksen aikana työnsä kirjastonhoitaja; se väitti olevansa lähettämään kirjeeseen Arkhimedes ja Eratosthenes. Kompa Ehdotettu mitä on tullut tunnetuksi Arkhimedeen nautakarja ongelma; sen ratkaisu vaatii ratkaista määräämättömän asteen yhtälö. Sikäli kuin tiedämme, kuten yhtälöitä ensin hoitaa menestyksellisesti Intian koulun. Ei tiedetä, onko Arkhimedeen itse oli menetelmä liuoksen.

Diofantos

Hyvin vähän tiedetään Diofantos Aleksandrian; hän luultavasti asui kolmannella vuosisadalla CE, eli noin viisi sata vuotta Euclid. Kuusi kolmestatoista kirjat Diofantos n Arithmetica hengissä kreikkalaista alkuperää; neljä enemmän kirjoja selviytyä arabian käännös. Arithmetica on kokoelma työskenteli-out ongelmat Jos tehtävänä on aina löytää järkevä ratkaisuja järjestelmän polynomiyhtälöiden, yleensä muotoa tai. Niinpä nykyään, puhumme Diophantine yhtälöiden kun puhumme polynomiyhtälöiden johon järkevä tai kokonaisluku ratkaisut on löydettävä.

Voidaan sanoa, että Diofantos opiskeli järkevä pistettä eli pisteitä, joiden koordinaatit ovat järkeviä kaarteissa ja algebrallinen lajikkeiden; kuitenkin, toisin kuin kreikkalaiset klassinen kausi, joka ei mitä me nyt kutsumme perustiedot algebran geometrisesti, Diofantos teki mitä me nyt kutsumme perustiedot algebrallinen geometria puhtaasti algebrallinen kannalta. Nykyaikaisessa kielellä, mikä Diofantos teki oli löytää järkevä parametrizations lajikkeita; eli antanut yhtälö muotoa, hänen tavoitteenaan oli löytää kolme järkevä toimintoja siten, että kaikkien arvojen ja, puitteet antaa ratkaisu

Diofantos myös tutkittu yhtälöt joidenkin ei-rationaalinen käyriä, joista ei järkevä parametrisointi on mahdollista. Hän onnistui löytää järkevä pisteitä Näiden käyrien avulla mitä merkitsee tangentti rakentaminen: käännetty koordinoida geometria, hänen menetelmä olisi visualisoida piirustus tangentti käyrä tunnettu järkevä piste, ja sitten löytää muita pisteen leikkauspiste tangentti kanssa käyrä; että muut kohta on uusi järkevä piste.

Vaikka Diofantos koski pitkälti rationaalisia ratkaisuja, hän olettaa joitakin tuloksia kokonaislukuja, erityisesti, että jokainen kokonaisluku on summa neljän neliöt.

Indian School: Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara

Vaikka Kreikan tähtitiede lienee vaikuttanut Intian oppimista, siihen pisteeseen käyttöön trigonometrian, se näyttää olevan niin, että Intian matematiikka on muuten alkuperäiskansojen perinne; erityisesti, ei ole näyttöä siitä, että Euclid n elementtejä Intiaan saakka ennen 18. luvulla.

Aryabhata osoitti, että paria samanaikaisesti congruences, voitaisiin ratkaista menetelmällä, hän kutsui kuṭṭaka, tai pulveriser; tämä on menettely lähellä Eukleideen algoritmi, joka todennäköisesti löydettiin itsenäisesti Intiassa. Aryabhata näyttää olleen mielessä sovelluksia tähtitieteellisiä laskelmia.

Brahmagupta alkoi järjestelmällistä tutkimusta toistaiseksi asteen yhtälöt erityisesti, väärin nimetty Pell yhtälö, jossa Arkhimedes on ehkä ensin kiinnostunut, ja joka ei alkanut ratkaistava Länsi asti Fermat'n ja Euler. Myöhemmin sanskritin Tekijät seuraisi, käyttäen Brahmagupta teknisen terminologian. Yleinen menettely ratkaisemiseksi Pell yhtälö lopulta saapuvat Jayadeva; aikaisintaan jälkeenjäänyt näyttely näkyy Bhaskara II: n Bija-Ganita.

Valitettavasti Intian matematiikan pysyi juuri tunneta lännessä vasta myöhään kahdeksastoista-luvulla; Brahmagupta ja Bhaskara työ oli käännetty Englanti vuonna 1817 Henry Colebrooke.

Aritmeettinen islamilaisessa kulta

Alussa yhdeksäs luvulla, kalifi Al-Ma'mun tilata käännöksiä monissa Kreikan matemaattisia teoksia ja ainakin yksi sanskritin työtä, mikä synnyttää perinne islamilaisen matematiikan. Diofantos pääteos, Arithmetica, käännettiin arabiaksi Qusta Ibn Luqa. Osa tutkielma al-Fakhri perustuu sen jossain määrin. Mukaan Rashed Roshdi, Al-Karajī nykyaikaisessa Ibn al-Haitham tiesi mitä myöhemmin kutsua Wilsonin lause.

Länsi-Euroopassa keskiajalla

Muut kuin tutkielma ruutua aritmeettinen etenemisen Fibonacci joka asui ja opiskeli Pohjois-Afrikan ja Konstantinopolin aikana hänen iässä, ca. 1175-1200 ei lukuteoria puhua tehtiin Länsi-Euroopassa keskiajalla. Asiat alkoivat muuttua Euroopassa myöhäisrenessanssin ansiosta uudistetun tutkimuksen teoksia Kreikan antiikin. Katalyytti oli teksti- emendation ja käännös Latinalaisen Diofantos n Arithmetica.

Early Modern lukuteoria

Fermat

Pierre de Fermat koskaan julkaistu hänen kirjoituksensa; erityisesti, hänen työstään lukuteoria sisältyy lähes kokonaan kirjeitä matemaatikot ja yksityisen marginaalinen toteaa. Hän kirjoitti alas lähes mitään todisteita lukuteorian; hänellä ei ollut malleja alueella. Hän toistuvasti käyttää matemaattisia induktio, käyttöön äärettömän laskeutumisen menetelmällä.

Yksi Fermat'n ensimmäinen etujen oli täydellinen numeroita ja sovinnollinen numerot; tämä johti hänet työskentelemään kokonaisluku divisors, jotka olivat alusta alkaen aiheisiin kirjeenvaihdon että laittaa hänet yhteyttä matemaattinen yhteisö päivä. Hän oli jo opiskellut BACHET painos Diofantos huolellisesti; mukaan 1643, hänen etujensa oli siirtynyt pitkälti Diophantine ongelmia ja summia neliöt.

Fermat'n saavutukset aritmeettinen ovat:

  • Fermat'n pieni lause, jossa todetaan, että jos ei ole jaollinen alkuluku p, sitten
  • Jos a ja b ovat Keskenään jaottomat luvut, niin ei ole jaollinen kaikista tärkein congruent -1 modulo 4; ja jokainen prime congruent 1 modulo 4 voidaan kirjoittaa muodossa. Nämä kaksi lausumaa myös vuodelta 1640; vuonna 1659, Fermat totesi Huygens että hän oli osoittautunut jälkimmäinen lausunto äärettömän laskeutumisen menetelmällä. Fermat ja Frenicle teki myös töitä muista quadratic muotoja.
  • Fermat aiheuttamat ongelma ratkaista haasteena Englanti matemaatikot. Ongelma ratkaistiin muutaman kuukauden Wallis ja Brouncker. Fermat pitivät ratkaisu voimassa, mutta huomautti he olivat antaneet algoritmi ilman todisteita Hän toteaa, että todiste löytyy laskeutuminen.
  • Fermat kehittänyt menetelmiä löytää pistettä kaarteissa suvun 0 ja 1. Kuten Diofantos, on monia erityisiä menettelyjä ja mitä merkitsee tangentti rakentamisen, mutta ei käytä secant rakentamisen.
  • Fermat valtiot ja osoittautuu lisäyksessä Havainnot Diofantos, jossa ei ole ei-triviaali ratkaisuja kokonaislukuja. Fermat mainitsi myös hänen kirjeenvaihtajia, jossa ei ole ei-triviaali ratkaisuja, ja että tämä voitaisiin todistaa laskeutuminen. Ensimmäinen tunnettu todiste johtuu Euler.

Fermat'n väite ovat osoittaneet ole olemassa ratkaisuja kaikkiin näkyy vain hänen lisäysten marginaali hänen kopio Diofantos; hän koskaan väittänyt tätä muille ja siten olisi ollut mitään tarvetta perua, jos hän löytänyt mitään virhettä hänen piti todiste.

Euler

Korko Leonhard Euler lukuteoria oli ensimmäinen vauhditti vuonna 1729, kun hänen ystävänsä, amatööri Goldbach, huomautti häntä kohti joitakin Fermat'n tehtäväksi. Tätä on kutsuttu "uudestisyntyminen" modernin lukuteoria, kun Fermat'n suhteellinen puute menestystä saada hänen aikalaisensa "huomiota aihe. Euler työtä lukuteoria sisältää seuraavat:

  • Todisteet varten Fermat'n lausuntoja. Tämä sisältää Fermat'n pieni lause; että jos ja vain jos; alustava työ kohti todiste siitä, että jokainen kokonaisluku on summa neljän neliöt, pian parani Euler itse); puute ei-nolla kokonaisluku ratkaisuja.
  • Pell yhtälö, ensimmäinen väärin nimetty Euler. Hän kirjoitti välisestä yhteydestä jatkoi jakeet ja Pell yhtälö.
  • Ensimmäiset askeleet kohti analytic number theory. Työssään summien neljä ruutua, väliseinät, viisikulmainen numeroita ja jakelu alkulukuja, Euler edelläkävijä käyttöä mitä voidaan pitää analyysin lukuteoria. Koska hän asui ennen kehittämistä monimutkainen analyysi, useimmat hänen työnsä rajoittuu virallisen manipulointia potenssisarjojen. Hän kuitenkin tehdä joitakin erittäin merkittäviä varhain työtä mitä myöhemmin kutsua Riemannin Zeta funktio.
  • Toisen asteen muotoja. Seuraavat Fermat'n johtoa, Euler teki lisätutkimuksia kysymys siitä, mitä alkulukuja voidaan ilmaista muodossa, osa siitä ennakoiden asteen vastavuoroisuutta.
  • Diofantoksen yhtälöt. Euler työskenteli joitakin Diophantine yhtälöitä suvun 0 ja 1. Erityisesti hän opiskeli Diofantos työtä; yritti systematisoida sitä, mutta aika ei ollut vielä kypsä tällaisen pyrkii - algebrallinen geometria oli vielä lapsenkengissä. Hän teki ilmoituksen oli yhteys Diophantine ongelmia ja ellipsinmuotoinen integrals, jonka tutkimus hän oli itse aloittanut.

Lagrange, Legendre ja Gauss

Joseph-Louis Lagrange oli ensimmäinen antaa täyden todisteita joistakin Fermat'n ja Eulerin työ ja havainnot - esimerkiksi neljä neliön lause ja teoriaa väärin nimetty "Pell yhtälö" Hän on opiskellut quadratic lomakkeet kokonaisuudessaan yleispätevyyttä määrittelyssä niiden ekvivalenssirelaatio osoittaa miten laittaa ne supistetussa muodossa, jne.

Adrien-Marie Legendre oli ensimmäinen todeta lain asteen vastavuoroisuuden. Hän myös arveltu mitä merkitsee Alkulukulause ja Dirichlet'n lause, aritmeettinen progressioiden. Hän antoi täyden kohtelu yhtälö ja työskenteli quadratic muotoja tapaan myöhemmin kehittyi täysin Gauss. Vanhoilla päivillään, hän oli ensimmäinen todistaa "Fermat'n viimeinen lause" varten.

Hänen Disquisitiones Arithmeticae, Carl Friedrich Gauss osoitti lain quadratic vastavuoroisuutta ja kehitti teorian quadratic muotoja. Hän myös esitteli joitakin perusasioita merkintä ja omistanut kappaleen laskennallisen kysymyksistä, myös alkuluku testejä. Viimeinen osa Disquisitiones perustettiin yhteys juuret yhtenäisyyden ja lukuteoria:

Näin Gauss luultavasti teki ensimmäisen kokeilu kohti sekä évariste galois työtä ja algebrallinen lukuteoria.

Kypsyys ja jako alikenttiä

Alkaa aikaisin yhdeksästoista luvulla, seuraavat kehitystä vähitellen tapahtui:

  • Aihetta itsetietoisuuden lukuteoria kuin koulutusaloittain.
  • Kehittäminen paljon modernin matematiikan tarvittavat perustiedot moderni lukuteoria: monimutkainen analyysi, ryhmä teoria, Galois theory mukana tiukempi analyysi ja abstraktio algebran.
  • Karkea alaosastoa lukuteoria osaksi modernia alikenttien erityisesti, analyyttinen ja algebrallinen lukuteoria.

Algebrallinen lukuteoria voidaan sanoa aloittaa tutkimuksen vastavuoroisuuden ja cyclotomy, mutta todella tuli omaan kehittämiseen abstraktin algebran ja varhaisen ihanteellinen teoria ja arvostus teoria; Katso alta. Tavanomainen lähtökohta analytic number theory on Dirichlet'n lause, aritmeettinen progressioiden, jonka todiste käyttöön L-toiminnot ja mukana noin asymptoottinen analyysi ja rajoittamalla prosessi reaalimuuttujaa. Ensimmäistä käyttöä analytic ajatuksia lukuteoria todella menee takaisin Euler, jotka käyttivät muodollista valtaa sarja ja ei-tiukka rajoittavia argumentteja. Monimutkaisten analyysi lukuteoria on myöhäisempi: työ Bernhard Riemann on Zeta funktio on kanoninen lähtökohta; Jacobi neljä neliön lause, joka edelsi se, kuuluu aluksi eri lohkon, joka on jo ottanut johtavan roolin analyyttinen lukuteoria.

Historia Kunkin alikentän on lyhyesti käsitelty omassa osiosta; katso tärkein artikkeli kunkin osakentästä täydellisempää hoitoja. Monet mielenkiintoisimmista kysymyksistä kullakin alueella avoinna ja ovat aktiivisesti työskennelleet.

Tärkeimmät osa-alueet

Alkeis työkalut

Termi peruskoulun yleensä tarkoittaa menetelmää, joka ei käytä monimutkaista analyysia. Esimerkiksi Alkulukulause ensin todistettu käyttäen monimutkainen analyysi vuonna 1896, mutta alkeis todisteita löydettiin vasta vuonna 1949 Erdős ja Selberg. Termi on hieman moniselitteinen: esimerkiksi todisteiden perustuvat monimutkaisiin Tauberian teoreemojen nähdään usein varsin valaiseva mutta ei alkeis huolimatta käyttäen Fourier sijaan monimutkainen analyysi sinänsä. Täällä kuten muuallakin, alkeis todiste voi olla pidempi ja vaikeampi useimmat lukijat kuin ei-alkeis yksi.

Lukuteoria on maine alalla monet joiden tuloksia voidaan todettu maallikko. Samalla, todisteet nämä tulokset eivät ole erityisen helposti, osittain siksi valikoiman työkaluja he käyttävät on, jos mitään, poikkeuksellisen laaja sisällä matematiikka.

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria voidaan määritellä

  • suhteen sen työkaluja, kuten tutkimus kokonaislukujen avulla työkalut todellinen ja monimutkainen analyysi; tai
  • kannalta huolensa, koska tutkimuksesta lukuteoria arvioiden koosta ja tiheys, toisin kuin identiteettiä.

Jotkin aiheet yleisesti katsotaan olevan osa analyyttinen lukuteoria, esimerkiksi seula teoriassa paremmin sisältyvät toiseen eikä ensimmäisen määritelmä: jotkut seula teoriaa, esimerkiksi, käyttää vain vähän analyysi, mutta se ei kuulu analyyttinen lukuteoria.

Seuraavat ovat esimerkkejä ongelmista analytic number theory: Alkulukulause, Goldbach arveluihin, Waring ongelma ja Riemannin hypoteesi. Jotkut tärkeimmät työkalut analytic number theory ovat ympyrä menetelmä, seulan menetelmiä ja L-toimintoja. Teoria modulaarinen muotoja myös miehittää yhä keskeinen asema työkalupakki analyyttinen lukuteoria.

Voidaan kysyä analyyttinen kysymyksiä algebraic numerot, ja käyttää analyyttisiä keinoja vastata näihin kysymyksiin; se on siis, että algebrallinen ja analyyttinen lukuteoria leikkaavat. Esimerkiksi yksi voi määritellä prime ihanteista ja kysyä, kuinka monta prime ihanteet on jopa tiettyä kokoa. Tämä kysymys voidaan vastata avulla tutkimisen Dedekindin Zeta toimintoja, jotka ovat yleistyksiä Riemannin Zeta funktio, keskeinen analyyttinen objekti on juuret aihe. Tämä on esimerkki yleisen menettelyn analyyttinen määrä teoria: johtuvat tietoa jakelu sekvenssin analyyttinen käyttäytymistä sopivasti rakennettu kompleksi-funktio.

Algebrallinen lukuteoria

Algebraic useita on monimutkaisia ​​numero, joka on ratkaisu joitakin polynomiyhtälö kanssa järkevä kertoimia; esimerkiksi joka liuosta on algebraic useita. Kentät algebraic numerot kutsutaan myös algebraic useita kenttiä, tai pian useita kenttiä. Algebraic useita teoriaopinnot algebraic useita kenttiä. Siten, analyyttinen ja algebrallinen lukuteoria voivat ja ovatkin päällekkäisiä: entinen on määritelty sen menetelmillä, jälkimmäinen sen tutkimuskohteita.

Voitaisiin väittää, että yksinkertaisin sellainen useita kenttiä jo tutkittiin Gauss, sillä keskustelu quadratic muotoja Disquisitiones Arithmeticae voidaan oikaistaan ​​kannalta ihanteita ja normien neliöllisessä aloilla. Tästä asiasta, 11-luvun chakravala menetelmä merkitsee nyky ehdoin algoritmi löytää yksikköä todellinen asteen numeroa. Kuitenkaan ei Bhaskara eikä Gaussin tiesi useita kenttiä sellaisenaan.

Perusteella aihe kuin me sen tunnemme asetettiin myöhään yhdeksästoista vuosisata, kun ihanteellinen numerot, teoria ihanteita ja arvostus teoria kehitettiin; nämä ovat kolme toisiaan täydentävää tapoja käsitellä puute ainutlaatuinen tekijöihin vuonna algebraic useita kenttiä. Alkusysäyksen kehittämiseen ihanteellinen numerot näyttää tulleen tutkimuksesta korkeampien vastavuoroisuuden lakeja, eli yleistyksiä asteen vastavuoroisuuden.

Numero kentät ovat usein tutkitaan laajennukset pienempien useita kenttiä: kenttä L sanotaan olevan laajentamista kentän K jos L sisältää K. luokittelu jatkoajan tiettyä määrää kenttä on vaikea ja osittain avoin ongelma. Abelin laajennukset eli laajennukset L K siten, että Galois ryhmä Gal L yli K on Abelin ryhmä ovat suhteellisen hyvin ymmärretty. Niiden luokittelu oli tavoitteena ohjelman luokan alalla teoriassa, joka aloitettiin vuonna myöhässä 19th luvulla ja toteutetaan pääosin vuonna 1900 1950.

Esimerkki aktiivisen alueen tutkimuksen algebrallinen lukuteoria on Iwasawa teoria. Langlands ohjelma, yksi tärkeimmistä nykyisen laajamittainen tutkimus suunnitelmat matematiikan, on joskus kuvailtu yritetään yleistää luokan alalla teoriassa ei-Abelin laajennuksia useita kenttiä.

Diophantine geometria

Keskeinen ongelma Diophantine geometria on määrittää, milloin diofantoksen yhtälö on ratkaisuja, ja jos on, kuinka paljon. Lähestymistapa on ajatella ratkaisut yhtälön geometrinen objekti.

Esimerkiksi, yhtälö kahden muuttujan määrittelee käyrä tasossa. Yleisemmin, yhtälö, tai järjestelmän yhtälöt, kahden tai useamman muuttujan määrittää käyrä, pinta tai jokin muu tällainen esine n-ulotteinen avaruus. Vuonna Diophantine geometria, yksi kysyy, onko olemassa mitään järkevää pistettä tai kiinteä pistettä käyrällä tai pinta. Jos on olemassa tällaisia ​​kohtia, seuraava askel on kysyä, kuinka monta niitä on ja miten ne on jaettu. Peruskysymys tähän suuntaan on: on olemassa äärellisen tai äärettömän monta järkevä pistettä tietyllä käyrä? Entä kokonaisluku pistettä?

Esimerkiksi tässä voi olla apua. Harkitse Pythagoraan yhtälö; haluaisimme tutkia sen järkevä ratkaisuja, eli sen ratkaisuja siten, että x ja y ovat molemmat järkevä. Tämä on sama kuin pyytää kaikki kokonaisluku ratkaisut; mitään ratkaisua jälkimmäinen yhtälö antaa meille ratkaisun, entisen. Se on myös sama kuin pyytää kaikissa pisteissä, järkevä koordinaatit käyrällä kuvattu.

Uudelleenmuotoilua kysymyksiä kaavojen osalta pisteinä kaarteissa osoittautuu onnistunut. Finiteness tai ei lukumäärän järkevä tai kokonaisluku pisteitä algebrallinen käyrä, joka on, rationaalinen tai kokonaisluku ratkaisuja yhtälö, jossa on polynomi kahden muuttujan osoittautuu riippuu ratkaisevasti suvun käyrän. Suvun voidaan määritellä seuraavasti: mahdollistavat muuttujat olla monimutkaisia ​​numeroita; sitten määrittelee 2-ulotteinen pinta 4-ulotteinen avaruus. Laske reikien pinta; soittaa numeroon suvun. Muut geometriset käsitteet osoittautua yhtä ratkaiseva.

On myös läheisesti alueen Diophantine approksimaatioiden: annetaan numero, kuinka hyvin sitä voidaan arvioida rationals? hyvä approksimaatio jos, missä on suuri.) Tämä kysymys on erityisen kiinnostavaa, jos on algebraic useita. Jos ei voida hyvin arvioida, sitten joitakin yhtälöitä ei ole kokonaisluku tai järkevä ratkaisuja. Lisäksi useita eri konsepteja osoittautua ratkaiseva sekä Diophantine geometria ja tutkimuksessa Diophantine arvioita. Tämä kysymys on myös erityisen kiinnostunut transsendenssissa teoriassa: jos numero voidaan paremmin arvioida kuin mikään algebraic useita, niin se on transkendenttiluku. Se on tämän väitteen että π ja e on osoitettu olevan transsendenttinen.

Diophantine geometria ei pidä sekoittaa geometria numerot, joka on kokoelma graafisen menetelmiä vastatakseen tiettyihin kysymyksiin algebrallinen lukuteoria. Aritmeettinen geometria, toisaalta, on nykyaikainen termi paljon sama verkkotunnus kuin tarkoitetaan termillä Diophantine geometria. Termi aritmeettinen geometria on todennäköisesti käytetään useimmiten kun halutaan korostaa yhteydet moderni algebrallinen geometria sijasta tekniikoita Diophantine arvioita.

Viimeaikaiset lähestymistapoja ja alikenttiä

Alueet Alla päivämäärä sellaisenaan aikaisintaan puolivälissä vuosisadan, vaikka ne perustuvat vanhempaa materiaalia. Esimerkiksi, kuten jäljempänä selitetään, asia algoritmeja lukuteoria on hyvin vanha, jossain mielessä vanhempi kuin käsite todiste; samaan aikaan, moderni tutkimus laskettavuuden juontaa vain 1930 ja 1940, ja laskennan vaativuus 1970.

Probabilistic lukuteoria

Kestää useita sattumanvaraisesti yhdestä miljoonaa euroa. Miten todennäköistä on olla ensisijainen? Tämä on vain yksi tapa kysyä, kuinka monta Primes on yhdestä miljoonaa euroa. Lisätietoja: kuinka monta prime divisors se on keskimäärin? Kuinka monta divisors se on kokonaan ja mitä todennäköisyys? Mikä on todennäköisyys, että se on paljon enemmän tai paljon vähemmän jakajia tai prime divisors kuin keskimäärin?

Suuri Todennäköisyyspohjaisia ​​lukuteoria voidaan pitää tärkeänä erikoistapaus tutkimuksen muuttujien, jotka ovat lähes, mutta ei aivan, toisistaan ​​riippumattomia. Esimerkiksi, jos satunnaisen kokonaisluvun yhdestä miljoona oltava jaollinen kaksi ja jos se on jaollinen kolme ovat lähes riippumattomia, mutta ei aivan.

Joskus sanotaan, että todennäköisyyksiin combinatorics käyttää sitä, että mitä tahansa tapahtuukin todennäköisyydellä yli on tapahduttava joskus; voidaan sanoa yhtä oikeudenmukaisuuden että monissa sovelluksissa Todennäköisyyspohjaisia ​​lukuteoria sarana siihen, että mitä on epätavallinen on harvinaista. Jos tietyt algebraic esineitä voidaan osoittaa olevan hännän tiettyjen järkevästi määriteltyjä jakaumat, tästä seuraa, että on oltava muutamia niistä; tämä on hyvin konkreettinen kuin todennäköisyyksiin julkilausuma seuraavat alkaen probabilistinen yksi.

Toisinaan ei-tiukka, todennäköisyyksiin lähestymistapa johtaa useita heuristista algoritmeja ja avoimia ongelmia, erityisesti Cramerin arveluihin.

Aritmeettinen combinatorics

Olkoon A joukko N ​​kokonaislukuja. Tarkastellaan joukon + = {m + n | m, n ∈} koostuu rahamäärien kahdesta osasta A. Onko + paljon suurempi kuin? Tuskin suurempi? Jos + on tuskin suurempi kuin, on oltava runsaasti aritmeettinen rakenne, esimerkiksi, ei muistuttavat aritmeettinen etenevä?

Jos me alkavat melko "paksu" ääretön joukko, se sisältää useita elementtejä aritmeettinen etenevä :, ,, ,,, sanoa? Olisiko mahdollista kirjoittaa suuria kokonaislukuja summia osia?

Nämä kysymykset ovat tunnusomaisia ​​aritmeettinen combinatorics. Tämä on tällä hetkellä sulautusliuottimia kenttä; se subsumes lisäaineen lukuteoria ja, todennäköisesti, jotkut geometria numerot, ja joitakin nopeasti kehittyvä uutta materiaalia. Sen painopisteenä on kysymyksiä kasvun ja jakelu tilejä osittain sen kehittää yhteyksiä ergodic teoriassa äärellinen ryhmä teoria, malli teoria, ja muilla aloilla. Termi lisäaine combinatorics käytetään myös; kuitenkin, asettaa tutkitaan ei tarvitse olla sarjaa kokonaislukuja, vaan osajoukot ei-kommutatiivinen ryhmiä, jotka kertomalla symboli, ei lisäksi symboli, on perinteisesti käytetty; ne voivat myös olla osajoukkoja renkaita, jolloin kasvu ja · voidaan verrata.

Laskutoimituksia lukuteoria

Vaikka sana algoritmi palaa vain tiettyjä lukijoille al-Khwarizmi, huolellinen kuvaukset menetelmiä liuoksen ovat vanhempia kuin todisteet: tällaisia ​​menetelmiä ovat yhtä vanhoja kuin mitään tunnistettavissa matematiikan muinaisen Egyptin, Babylonian, Veda, kiinalainen taas todisteiden ilmestyi vain kreikkalaiset klassisen kauden. Mielenkiintoinen varhainen tapaus on mitä me nyt kutsumme Eukleideen algoritmi. Perusmuodossaan se näkyy Proposition 2 Varaa VII elementit, sekä todiste virheettömyydestä. Kuitenkin siinä muodossa kuinkäytetään usein lukuteoria se esiintyy ensi teoksia Aryabhata kuin algoritmia kutsutaan kuṭṭaka, ilman todiste virheettömyydestä.

On olemassa kaksi keskeistä kysymystä: "voimme laskea tämän?" ja "voimme laskea sen nopeasti?". Kuka tahansa voi testata, onko numero on alkuluku tai, jos se ei ole, jakaa sen alkutekijöitä; näin nopeasti, on toinen asia. Tiedämme nyt nopeasti algoritmeja testausta alkuluku, mutta huolimatta paljon työtä, ei todella nopea algoritmi factoring.

Vaikeus laskenta voi olla hyötyä: moderni protokollat ​​viestien salaamiseen riippuvat toiminnot, joita kaikkien tiedossa, mutta joiden käänteisluvut tiedetään vain harvojen, ja veisi yksi liian kauan aikaa selvittää omaa luokkaansa. Esimerkiksi, nämä toiminnot voivat olla sellaisia, että niiden käänteisesti verrannollisia voidaan laskea vain, jos tietyt suuret kokonaisluvut factorized. Vaikka monia vaikeita laskennallisia ongelmia ulkopuolella lukuteoria tunnetaan, useimmat työ koodiprotokollia nykyään perustuvat vaikeus muutaman numero-teoreettisia ongelmia.

On eri huomata joitakin asioita ei voi olla laskettavissa lainkaan; Itse asiassa tämä voidaan todentaa joissakin tapauksissa. Esimerkiksi vuonna 1970, se oli todistettu, koska ratkaisu Hilbertin 10. ongelma, että ei ole olemassa Turingin kone, joka voi ratkaista kaikki Diofantoksen yhtälöitä. Erityisesti tämä tarkoittaa sitä, annetaan computably numeroituva joukko aksioomat, on Diophantine yhtälöitä, joille ei ole mitään todisteita, alkaen aksioomat, onko joukko yhtälöitä on tai ei ole kokonaisluku ratkaisuja.

Sovellukset

Numero-teoreetikko Leonard Dickson sanoi "Kiitos Jumalalle että määrä teoria on unsullied mikään sovellus". Tällainen näkemys ei enää sovelleta lukuteoria. Vuonna 1974, Donald Knuth sanoi "... lähes jokainen lause on lukuteorian syntyy luonnollinen, motivoitunut tavalla yhteydessä ongelma tehdä tietokoneiden tehdä nopea numeeristen laskelmien". Lukuteorian opetetaan diskreetti matematiikka kursseja tietotekniikan tutkijoita; ja, toisaalta, lukuteoria on myös sovelluksia jatkuva numeerinen analyysi. Sekä tunnettuja sovelluksia salaus, on myös sovelluksia monilla muilla aloilla matematiikan.

Kirjallisuus

Kaksi suosituimmista esittelyt aihe ovat:

  • G. H. Hardy; E. M. Wright. Johdatus teorian numerot. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.
  • Vinogradov, I. M .. Elements lukuteoria. Mineola, NY: Dover Publications.

Hardy ja Wrightin kirja on kattava klassikko, vaikka sen selkeys kärsii toisinaan johtuu kirjoittajien vaatimus alkeis menetelmiä. Vinogradov tärkein nähtävyys koostuu sen ongelmansa, mikä johtaa nopeasti Vinogradov oman tutkimuksen etuja; teksti itsessään on hyvin yksinkertainen ja lähellä minimaalinen. Muita suosittuja ensimmäinen esittelyt ovat:

  • Ivan M. Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery. Johdatus teorian numerot. John Wiley & Sons. ISBN 978-8-12-651811-1.
  • Kenneth H. Rosen. Lukuteorian. Pearson Education. ISBN 978-0-32-171775-7.

Suosittuja valintoja toinen oppikirja ovat:

  • Borevich, A. I .; Shafarevich, Igor R .. Lukuteoria. Puhdas ja sovelletun matematiikan 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117850-5. MR 0195803.
  • Serre, Jean-Pierre. Kurssi aritmeettinen. Jatko tekstit matematiikan 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
  0   0
Edellinen artikkeli Indiegogo
Seuraava artikkeli Margaret Russo

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha