Lineaarinen järjestelmä jakajat

Algebrallinen geometria, lineaarinen järjestelmä jakajia on algebrallinen yleistys geometrinen käsite käyräjoukkoja; ulottuvuus lineaarinen järjestelmä vastaa parametrien määrä perheen.

Nämä syntyi ensimmäinen muodossa lineaarinen järjestelmä algebraic käyrien projective plane. Se olettaa yleisemmässä muodossa, kautta asteittainen yleistyminen, jotta voitaisiin puhua lineaarisen vastaavuuden divisors D yleisen järjestelmän tai jopa rengastettu tilaa.

Lineaarinen järjestelmä ulottuvuus 1, 2 tai 3 kutsutaan kynä, netto tai web.

Määritelmä avulla toimintojen

Koska perusajatus järkevä toiminta yleisellä lajikkeen V, tai toisin sanoen funktion f funktio alalla V jakoluvut D ja E ovat lineaarisesti yhtä jos

jossa tarkoittaa jakaja nollia ja sauvat funktion f.

Huomaa, että jos V on singulaaripisteissä, "jakaja" on luonnostaan ​​moniselitteinen). Määritelmä tässä tapauksessa on yleensä sanoi huolellisemmin; Katso alta.

Täydellinen lineaarinen järjestelmä V määritellään joukko kaikki tehokkaat jakajat lineaarisesti vastaa noin annetaan jakaja D. merkitään | D |. Olkoon L linja nippu liittyy D Voidaan todistaa että | D | vastaa bijectively ja on siksi projective tilaa.

Lineaarinen järjestelmä on sitten projective aliavaruus täydellisen lineaarinen järjestelmä, joten se vastaa vektori aliavaruus W ulottuvuus lineaarinen järjestelmä on sen ulottuvuus projective tilaa. Siksi.

Base lokuksen

Jos kaikki jakoluvut järjestelmän yhteisiä pisteitä, tämä on kutsutaan -tietokannan locus lineaarisen järjestelmän. Geometrisesti, tämä vastaa yhteinen risteyksessä lajikkeita. Lineaarinen järjestelmiä saattaa olla pohja lokuksen - esimerkiksi, lyijykynä affiini linjat ei ole yhteistä risteyksessä, mutta koska kaksi Kartioleikkaukset monimutkainen projective plane, ne leikkaavat vuonna neljä pistettä ja näin lyijykynä ne määrittelevät on nämä pisteet pohja lokukseen.

Lineaarinen järjestelmä kartioleikkausten

Esimerkiksi kartioleikkausten vuonna projective plane muodostavat lineaarisen järjestelmän ulottuvuuden viisi, yksi näkee laskemalla vakioita tutkinnon kahta yhtälöä. Ehto läpi tietyn pisteen P asetetaan yksi lineaarinen kunnossa, jotta CONICS C kautta P muodostavat lineaarisen järjestelmän ulottuvuus 4. Muita ehdolla, että ovat kohteisiin kuuluvat kosketus- ja tietyllä radalla L.

Kaikkein alkeis hoitoja lineaarinen järjestelmä näyttää muodossa yhtälöt

jossa λ ja μ tuntematon skalaarit, ei molempia nolla. Täällä C ja C "annetaan CONICS. Abstraktisti voimme sanoa, että tämä on projektiivinen rivi tilaa kaikkien kartioleikkausten, joihin otamme

kuten homogeeninen koordinaatit. Geometrisesti huomaamme, että Q yhteinen C ja C "on myös kunkin kartioleikkausten lineaarisen järjestelmän. Mukaan Bézout lause C ja C 'osuu neljä pistettä. Olettaen nämä ovat yleensä asennossa, eli neljä erillistä risteyksissä, saamme toinen tulkinta lineaarisen järjestelmän CONICS kulkee neljä annettujen pisteiden. Huomaa, että nämä kartioleikkausten, tasan kolme ovat degeneroitunut, joista kukin koostuu parin rivejä, jotka vastaavat tapoja valita 2 paria pistettä 4 pistettä.

Sovellukset

Silmiinpistävä tällaisten perhe on joka antaa geometrinen ratkaisu quartic yhtälö tarkastelemalla lyijykynä kartioleikkausten läpi neljä juuret quartic, ja yksilöidään kolme rappeutua CONICS kanssa kolme juuret resolventtiyhtälöt kuutio.

Esimerkki

Esimerkiksi, kun otetaan neljä pistettä lyijykynä kartioleikkausten niiden kautta voidaan parametroida kuin jotka ovat affiini yhdistelmiä yhtälöiden ja vastaavat rinnakkaista pystysuoria viivoja ja vaakaviivat; tämä tuottaa degeneroitunut CONICS standardin kiinnostaviin vähemmän tyylikäs mutta symmetrinen parametrit saadaan jolloin kääntelemällä eritasoliittymää x ja y, jolloin saatiin seuraavat lyijykynä; kaikissa tapauksissa keskus on alkuperä:

  •  hyperbolae avaaminen vasemmalle ja oikealle;
  •  yhdensuuntaiset pystysuorat viivat
  •  ellipsin kanssa pystysuoran pääakselin;
  •  ympyrä;
  •  ellipsin vaakasuora pääakselin;
  •  yhdensuuntaista vaakaviivaa
  •  hyperbolae avautuminen ja alas,
  •  vinoviivaa
  • Tämä sitten silmukoita ympäri koska kynät ovat projektiivisen linja.

Terminologiassa, tämä on tyypin I lineaarinen järjestelmä kartioleikkausten, ja on animoitu linkitetyn videon.

Luokitus

On 8 tyyppisiä lineaarinen järjestelmien kartioleikkausten yli kompleksiluvut, riippuen risteyksessä moninaisuus tyvestä pistettä, joka jakautuvat 13 eri yli todellinen määrä, riippuen siitä, onko pohja pisteet ovat todellisia tai kuvitteellisia; tämä on käsitelty ja esitetty.

Muita esimerkkejä

Cayley-Bacharach lause on ominaisuus lyijykynä on kuution, jossa todetaan, että pohja lokus täyttää "8 merkitsee 9" omaisuus: mikä tahansa kuutio sisältävät 8 pistettä välttämättä sisältää yhdeksäs.

Linear järjestelmien birational geometria

Yleensä lineaariyksiköt tuli perustyökalu on birational geometrian harjoittama Italian koulu algebrallinen geometria. Tekniset vaatimukset tuli melko tiukat; myöhemmin kehitys selvensi useita kysymyksiä. Laskenta merkityksellisiä ulottuvuuksia Riemannin-Roch ongelma, koska sitä voidaan kutsua voidaan paremmin muotoiltu kannalta homological algebran. Vaikutus työskentelee lajikkeiden singulaaripisteissä on näy eroa Weil divisors, ja Cartier jakajat tulevat osat käännettävissä levyille.

Italian koulu halunnut vähentää geometrian algebraic pinta kuin lineaarinen järjestelmien leikata ulos pintojen kolmen avaruudessa; Zariski kirjoitti kuuluisan kirjan Algebrallinen pintojen yrittää vetää yhteen menetelmillä, joihin kuuluu lineaariset järjestelmät kiinteä pohja pistettä. Oli kiistoja, yksi viimeisistä asioista ristiriita "vanhojen" ja "uusien" näkökulmista algebrallinen geometria, yli Henri Poincaré tunnusomaiset lineaarinen järjestelmä algebraic perheen käyriä algebraic pinta.

Linja nippu / kääntyvä nippu kieli

Tänään, lineaariset järjestelmät ovat tyypillisesti käyttöön avulla linja nippu tai käännettävissä nippu kieli. Näissä kannalta, jakajat D vastaavat linja nippuja, ja lineaarinen vastaavuus kaksi jakoluvut tarkoittaa, että vastaava rivi niput ovat isomorfisia.

  0   0
Edellinen artikkeli Islam ja kissat
Seuraava artikkeli Louis McLane

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha