Jordania matriisi

Vuonna matemaattinen kuria matriisi teoria, Jordania lohko yli rengas on matriisi koostuu 0 elementtejä kaikkialla paitsi diagonaalinen, joka on täynnä kiinteästä osasta, ja superdiagonal, joka koostuu niistä. Käsite on nimetty Camille Jordan.

Jokainen Jordan lohko on siis määritelty sen ulottuvuutta n ja sen ominaisarvo ja on merkitty. Mikä tahansa limatriisi joiden lohkot ovat Jordan lohkojen kutsutaan Jordania matriisi; joko tai "" symboli, lohko lävistäjä neliömatriisi nostaa lävistäjä lohko on, jonka toinen lävistäjä lohko on ja jonka kolmas diagonaalinen lohko on kompaktisti merkitty tai vastaavasti. Esimerkiksi matriisi

on Jordan matriisi lohko ominaisarvolla, kahden korttelin ominaisarvolla imaginääriyksikkö ja lohko ominaisarvolla 7. Sen Jordan-lohko rakenne voidaan myös kirjoittaa joko tai.

Lineaarialgebra

Mikä tahansa neliö matriisi, jonka elementit ovat algebrallisesti suljettu kenttä on samanlainen Jordania matriisi, myös, joka on ainutlaatuinen jopa permutation lävistäjä lohkojen itse. kutsutaan Jordania normaali muodossa ja vastaa yleistys diagonalisointi menettelyn. Diagonalisoituva matriisi on samanlainen, itse asiassa, että erikoistapaus Jordania matriisi: matriisi, jonka lohkot ovat kaikki.

Yleisemmin ottaen Jordania matriisi, eli jonka lävistäjä lohko, on Jordan lohko ja joiden diagonaalialkiot kaikki eivät ole erillisiä, geometrinen moninaisuus varten matriisi, merkitty, vastaa määrää Jordanian lohkojen jonka ominaisarvo on. Kun taas indeksi eigenvalue varten, merkitty, määritellään ulottuvuus suurimmista Jordanian lohko liittyvät että ominaisarvo.

Sama pätee kaikkiin matriisit samanlainen, joten voidaan määritellä vastaavasti suhteessa Jordania normaalia muodossa tahansa sen ominaisarvot. Tällöin voidaan tarkistaa, että indeksi varten on sama kuin sen moninaisuus kuin juuri minimaalinen polynomin. Vastaava välttämätön ja riittävä edellytys on diagonalisoitavissa vuonna on, että kaikki sen ominaisarvot on indeksin yhtä suuri, eli sen minimaalinen polynomi on vain yksinkertainen juuret.

Huomaa, että tietää matriisi spektrin kaikki sen algebrallisen / geometrinen multiplisiteetit ja indeksit ei aina salli laskemista sen Jordania normaali muoto: Jordan hajoaminen on yleensä laskennallisesti haastava tehtävä. Vuodesta vektoriavaruus näkökulmasta, Jordania hajoaminen vastaa löytää kohtisuorassa hajoamista verkkotunnuksen joka liittyy yleisen ominaisvektoreiden tehdä perusta.

Toiminnot matriisit

Antaa ja olla muutos kantamatriisi Jordan normaali muodossa, eli. Nyt olla holomorphic toiminto avoin joukko siten, että eli spektri matriisin sisältämää verkkotunnus holomorphy on. Päästää

olla potenssisarjan laajentamista ympärillä, joka jäljempänä oletetaan olevan 0 yksinkertaisuuden vuoksi. Matriisi on sitten määritellään kautta seuraavan virallisen potenssisarja

on täysin yhteneviä suhteen Eukleideen normi. Toisin sanoen, suppenee ehdottomasti jokaista neliö matriisi, jonka spektrinen säde on pienempi kuin suppenemissäde noin ja on tasaisesti yhtenevät tahansa kompakti osajoukkoja täyttävän tämän ominaisuuden matriisissa Lien ryhmä topologia.

Jordania normaali muoto mahdollistaa laskennan toimintoja matriisien ei nimenomaan tietotekniikka ääretön sarja, joka on yksi tärkeimmistä saavutuksista Jordanian matriiseja. Käyttämällä tosiasiat, että valta diagonaalilohkomatriisi on diagonaalilohkomatriisi joiden lohkot ovat valtuudet vastaavien lohkojen, eli ja että edellä matriisi potenssisarjojen tulee

jossa viimeinen sarja saa laskea nimenomaisesti kautta potenssisarjoja jokaisen Jordan lohkon. Itse asiassa, jos mikä tahansa holomorphic funktio Jordanin lohko on seuraava yläkolmiomatriisi:

Seurauksena tästä, laskenta tahansa toiminnot matriisi on suoraviivainen, kun sen Jordanin normaali muoto ja sen muutosta koskeva perusteella matriisin ovat tunnettuja. Myös ,, eli jokainen eigenvalue vastaa ominaisarvoa, mutta se on yleensä eri algebraic moninaisuus, geometrinen moninaisuus ja indeksi. Kuitenkin, algebrallinen moninaisuus voidaan laskea seuraavasti:

Toiminta lineaarimuunnosta välillä vektoriavaruudet voidaan määritellä samalla tavalla mukaan holomorphic toiminnallinen calculus, jossa Banach avaruus ja Riemannin pinta teorioita on keskeinen asema. Kun kyseessä on rajallinen-ulotteinen välilyöntejä, molemmat teoriat sopivat täydellisesti.

Dynaamisten systeemien

Oletetaan dynaaminen järjestelmä on yksinkertaisesti määritellään yhtälöllä

jossa on käyrä parametrisointi kiertoradalle Riemannin pinnalla dynaaminen järjestelmä, kun taas on monimutkainen matriisi, jonka elementit ovat monimutkaisia ​​toimintoja ulotteinen parametrin. Vaikka Jordania normaali muoto matriisin jatkuvasti muotoaan lähes kaikkialla, mutta yleensä, ei kaikkialla: on joitakin kriittisiä submanifold ja johon Jordania muodossa äkillisesti muuttaa rakennetta aina kun parametri ylittää tai yksinkertaisesti "liikkuu" ympärille. Tällaiset muutokset merkitsevät, että useat Jordan korttelin liittyä yhteen ainutlaatuinen Jordan lohko, tai päinvastoin. Monet näkökohdat kaksijakoisuus teoriaa sekä jatkuva ja diskreetti dynaamiset systeemit voidaan tulkita analyysi toiminnallisten Jordan matriiseja.

Vuodesta tangentti tilaa dynamiikkaa, tämä tarkoittaa, että ortogonaalinen hajoaminen dynaaminen järjestelmän vaiheavaruuden muutoksia ja esimerkiksi eri kiertoradat saada jaksotuksen, tai menetä, tai siirtyä tietynlaista jaksotus toiseen.

Lauseessa, laadullista käyttäytymistä niin dynaaminen järjestelmä voi olennaisesti muuttua mallinen muodonmuutoksen Jordania normaalia muodossa.

Lineaarinen differentiaaliyhtälöitä

Yksinkertaisin esimerkki dynaaminen järjestelmä on lineaarisen, vakio-kerroin, tavallisten differentiaaliyhtälöiden eli anna ja:

jonka suora suljettu-muodossa ratkaisuun liittyy laskenta matriisin eksponentiaalinen:

Toisella tavalla, edellyttäen, että liuos on rajoitettu paikalliseen Lebesguen tilaa ulotteinen vektori kenttien, on käyttää sen Laplace-muunnos. Tässä tapauksessa

Matriisi-toiminto kutsutaan resolventtiyhtälöt matriisin ero operaattorin. On meromorphic suhteessa monimutkaisia ​​parametri koska sen matriisielementit ovat järkevä toimintoja, joiden nimittäjä on sama kaikille. Sen polaarinen singulariteetit ovat ominaisarvot, jonka järjestys vastaa niiden indeksi se, eli.

  0   0
Edellinen artikkeli Ladispoli
Seuraava artikkeli Lampeter Town RFC

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha