Dihedral ryhmä järjestyksen 6

Matematiikassa, pienin ei-Abelin ryhmä on 6 elementtejä. Se on dihedral ryhmä merkintä D3 ja symmetrinen ryhmä tutkinnon 3, jossa merkintä S3.

Tämä sivu kuvaa monta ryhmä käsitteitä käyttäen tämän ryhmän esimerkkinä.

Symmetria ryhmien

Kahdessa ulottuvuudessa, ryhmä D3 on symmetria ryhmä kolmion. Toisin tapauksessa neliön tai muu monikulmio, kaikki permutaatiot pisteiden voidaan saavuttaa kierto ja käännetään yli.

Kolmiulotteisesti, on olemassa kaksi eri symmetria ryhmien on algebrallisesti ryhmä D3:

  • yksi 3-kertaiseksi pyörimisakselin ja kohtisuorassa 2-kertainen pyörimisakselin: D3-
  • yksi 3-kertaiseksi pyörimisakselin tasossa pohdinta: C3v

Permutaatioita asettaa kolme esineiden

Harkitse kolme värillinen lohkot, aluksi sijoitetaan järjestyksessä RGB. Anna olla toiminta "swap ensimmäinen lohko ja toinen lohko", ja anna b olla toiminta "vaihtaa toinen lohko ja kolmas lohko".

Vuonna kerrannaisvaikutukset muodossa, me perinteisesti kirjoittaa XY yhdistetyn toiminnan "ensin tehdä y, tee X"; niin että ab on toimintaa, eli "ottaa viimeinen lohko ja siirtää sen edessä". Jos me kirjoittaa e "jättää lohkoissa ne ovat", niin voimme kirjoittaa kuusi permutaatiot asettaa kolme lohkojen seuraavat toimet:

  • e: RGB ↦ RGB tai
  • : RGB ↦ GRB tai
  • b: RGB ↦ RBG tai
  • ab: RGB ↦ BRG tai
  • ba: RGB ↦ GBR tai
  • ABA: RGB ↦ BGR tai

Merkintä suluissa on sykli merkintä.

Huomaa, että toiminta aa on vaikutus, jättäen lohkoissa ne olivat; jotta voimme kirjoittaa. Samoin

  • bb = e,
  •  = E, ja
  •  = = E;

joten jokainen edellä mainittujen toimien on käänteinen.

Tarkastuksen, voimme myös määrittää assosiatiivisuuden ja sulkeminen; Huomaa esimerkiksi, että

  • = = aba, ja
  • b = b = bab.

Ryhmä on ei-Abelin koska esimerkiksi ,. Koska se on rakennettu ylös perustoiminnot ja b, sanomme, että joukko luo se.

Ryhmä on esitys

jossa a ja b ovat swap ja r on syklinen permutaatio.

Yhteenveto konsernin toiminnan

Kanssa generaattorit ja b, me määritellä lisävaatimuksia Shorthands, ja. Muodossa Cayley taulukon, ryhmä toiminnot nyt seuraavasti:

Huomaa, että ei-yhtä suuri kuin tunnistamisperusteita ainoastaan ​​lieventää, jos ne ovat toistensa käänteinen. Siksi ryhmä on Centerless.

Konjugaattiluokat

Voimme helposti erottaa kolmenlaisia ​​permutaatioista kolmen korttelin, nimeltään konjugaattiluokat ryhmä:

  • ei muutosta, ryhmä elementti järjestyksessä 1
  • vaihtuvien kahden korttelin :, ,, kolme alkuaineita järjestyksen 2
  • syklinen permutaatio kaikkien kolmen korttelin ,, kaksi alkuaineita järjestyksen 3

Esimerkiksi ja ovat molemmat muotoa; permutation kirjaimet R, G ja B (eli) muuttaa merkintää osaksi. Näin ollen, jos käytämme sitten, ja sen jälkeen käänteinen, joka on myös, tuloksena permutaatio on.

Huomaa, että konjugaatti alkuaineita aina samassa järjestyksessä, mutta ryhmille yleensä alkuaineita, jotka ovat samassa järjestyksessä ei tarvitse olla konjugaatti.

Alaryhmät

Vuodesta Lagrangen lause me tiedämme, että kaikki ei-triviaali alaryhmä on järjestyksessä 2 tai 3. Itse kaksi syklistä permutaatioista kaikkien kolmen korttelin, jossa identiteetti, muodostavat alaryhmä järjestyksen 3, indeksi 2, ja swap kahden korttelin, kukin kanssa identiteetti, muodostavat kolme alaryhmää järjestyksen 2, indeksi 3.

Ensiksi mainittu on vuorotellen ryhmä A3.

Vasemmalle jäännösluokkaa ja oikea jäännösluokkaa A3 ovat molemmat että alaryhmä itse ja kolme swap.

Vasen jäännösluokkaa of ovat:

  • {,}
  • {,}
  • {,}

Oikeus jäännösluokkaa of ovat:

  • {,}
  • {,}
  • {,}

Niinpä A3 on normaalia, ja muut kolme ei-triviaali alaryhmien eivät ole. Osamäärä ryhmä on isomorfinen C2.

, Semidirect tuote, missä H on alaryhmä kaksi elementtiä: ja yksi kolmesta swap.

Mitä permutaatioista kaksi ryhmän elementit ovat joukko jopa permutaatioiden ja joukko outoa yhdistelmää.

Jos alkuperäinen ryhmä, joka syntyy 120 ° -rotation on kone noin pisteen, ja pohdintaa suhteessa linjan kautta että kohta, sitten osamäärä ryhmällä on kaksi elementtiä, jotka voidaan kuvata osajoukot "vain kiertää" ja "ottaa peilikuva".

Huomaa, että symmetria ryhmä neliö, epätasainen permutaatio pisteiden ei vastaa ottaen peilikuva, mutta toimiin ei sallita suorakaide, eli 90 ° kierto ja soveltamalla diagonaalinen akselin pohdintaa.

Semidirect tuotteet

 on jos molemmat φ ja φ ovat identiteetin. Semidirect tuote on isomorfinen dihedral ryhmään järjestyksessä 6, jos φ on identiteetti ja φ on ei-triviaali automorphism C3, joka käänteisluvut elementtejä.

Näin saadaan:

kaikille N1, N2 C3 ja H2 C2.

Vuonna Cayley taulukko:

Huomaa, että toinen numero meillä pohjimmiltaan on 2 × 2 taulukko, jossa on 3 x 3 yhtä arvot kullekin näistä 4-soluja. Ensimmäisen numeron vasemmalla puolella taulukko on sama kuin oikea puoli, mutta yläosan eroaa alaosassa.

Suoran tuote taulukko on sama paitsi että ensimmäistä numeroa alaosassa taulukossa ovat samat kuin yläosassa.

Ryhmäkanne

Harkitse D3 geometrinen tavalla, kuten symmetria ryhmä isometries koneen, ja katsovat vastaavan ryhmän toimintaa joukko 30 tasavälein pistettä ympyrän, numeroitu 0-29 ja 0 yksi kuvajainen akseleita.

Tässä jaksossa esitetään ryhmäkanne käsitteitä tässä tapauksessa.

Toiminta G X kutsutaan

  • transitiivinen jos jonkin kaksi x, y X olemassa g G siten, että; tämä ei ole
  • uskollinen jos minkä tahansa kahden eri g, h G on olemassa X X siten, että; näin on, koska lukuun ottamatta identiteetin, symmetria ryhmät eivät sisällä elementtejä, jotka "tee mitään"
  • ilmaiseksi, jos minkä tahansa kahden eri g, h G ja kaikilla x X meillä on; tämä ei pidä paikkaansa, koska on olemassa heijastuksia

Radoista ja stabilointiaineet

Kiertoradalla pisteessä x X on joukko elementtejä X jossa X voidaan liikuttaa osia G. kiertoradalla x merkitään Gx:

Kiertoradat ovat ja pisteitä sisällä kiertoradalla ovat "vastaava". Jos symmetria ryhmä hakee malli, niin kussakin kiertoradalle väri on sama.

Asetettu kaikkien kiertoradat X alle toiminnan G kirjoitetaan.

Jos Y on osajoukko X, kirjoitamme GY asetetun Kehotamme osajoukko Y invariantti G jos sillä joukko kaikki elementit G että korjata X:

Jos x on heijastus piste, sen stabilointiaine on ryhmä tilauksen kahden sisältävien identiteettiä ja pohdintaa x. Muissa tapauksissa stabilointiaine on triviaali ryhmä.

Jos kiinteä X X harkita kartta G: stä X antama. Kuva Tämä kartta on kiertoradalla x ja coimage on asetettu kaikkien jäljellä jäännösluokkaa on Gx. Standardin osamäärä lause set theory sitten antaa luonnollisen bijektio välillä ja Gx. Erityisesti bijektio annetaan. Tämä tulos on tunnettu kiertoradalla-stabilointiaine lause. Kahdessa tapauksessa pieni kiertoradalla, stabilointiaine on ei-triviaali.

Jos kaksi elementtiä x ja y kuuluvat samaan kiertoradalla, niin niiden stabilointiaine alaryhmiä, Gx ja Gy, ovat isomorfisia. Tarkemmin: jos y = g · x, niin Gy = GGX g. Esimerkissä tämä koskee esim. 5 ja 25, sekä pohdintaa pistettä. Heijastus noin 25 vastaa kierto 10, heijastus noin 5, ja kierto -10.

Tulos liittyy läheisesti kiertoradalle-stabilointiaine lause on Burnside lemma:

jossa X on joukko pisteitä vahvistettu g. Eli määrä kiertoradat on yhtä suuri kuin keskimääräinen pistemäärä kiinteiden per ryhmä elementti.

Identiteetin kaikki 30 pistettä vahvistetaan, että kaksi kierrosta ei ole, ja kolme heijastukset kaksi kunkin: ja siis keskiarvo on kuusi, lukumäärä kiertoradan.

Edustus teoria

Jopa isomorphism, tämä ryhmä on kolme irreducible monimutkainen yhtenäinen esityksiä, jotka me kutsumme, ja, jossa alaindeksi ilmaisee ulottuvuus. Sen määritelmä kuin permutaatioryhmän yli asetettu kolme elementtiä, ryhmällä on edustus permutoimalla merkinnät vektorin, perustavanlaatuinen edustus. Tämä esitys ei ole redusoitumatonta, koska se hajoaa kuin suora summa ja. näkyy aliavaruus vektorien lomakkeen ja on edustus sen ortogonaalinen komplementti, jotka ovat vektorit muodossa. Triviaali yksiulotteinen esitys syntyy läpi ryhmien luokittelu: toiminta on kertominen merkki permutaation alkuainetta. Jokainen äärellinen ryhmä on tällainen esitys, koska se on alaryhmä syklisen ryhmän sen säännöllinen toiminta. Counting neliön mitat edustustojen, näemme nämä on kaikki irreducible esityksiä.

2-ulotteinen pelkistymätön lineaarinen esitys saadaan 1-ulotteinen projective esitys, kuten elliptinen muunnoksia. Tämä voidaan esittää matriisit kirjattaisiin 0 ja ± 1, tunnetaan anharmonic ryhmä:

  • järjestys 1:
  • järjestys 2:
  • järjestys 3:

ja siten laskeutuu edustus yli tahansa alalla, joka on aina uskollinen / injektio. Yli kentän kaksi elementtiä, projektiivinen rivi on vain 3 pistettä, ja tämä on siten poikkeuksellinen isomorphism Vuonna ominaisuus 3, tämä upotus vakauttaa pisteen jälkeen. Kentän kanssa kolme tekijää, projektiivinen rivi on 4 elementtejä, ja sillä on isomorfinen symmetrinen ryhmä 4 elementtejä, S4, tuloksena upottamisen vastaa stabilointiaine pisteen.

  0   0
Edellinen artikkeli Olen kuningas Bee
Seuraava artikkeli Visual SourceSafe

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha