Differentiable pakosarja

Matematiikassa, differentioituva pakosarja on eräänlainen moninaisia ​​joka on paikallisesti riittävän samankaltaisia ​​lineaarinen tila sallia yhden tehdä calculus. Mikä tahansa jakotukki voidaan kuvata kokoelma kaavioita, joka tunnetaan myös atlas. Yksi voi hakea ideoita calculus työskennellessään yksittäisissä kaavioita, koska jokainen kaavio sijoittuu lineaarinen tila, johon tavanomaisten sääntöjen hammaskiven sovelletaan. Jos kartat ovat sopivasti yhteensopivia, sitten laskennat tehdään yhden kaavion ovat voimassa kaikissa muissa differentiable kaavio.

Muodollisesti differentioituva pakosarja on topologinen jako- maailmanlaajuisesti määritelty ero rakenne. Mikä tahansa topologinen jakotukki voidaan antaa ero rakenne paikallisesti käyttämällä homeomorphisms sen kartasto ja tavallinen ero rakenne lineaarinen välilyönti. Aiheuttaa maailmanlaajuisen ero rakenteen paikallisen koordinaatistot aiheuttama homeomorphisms, niiden koostumus kaavio risteyksiä atlas on derivoituva toimintoja vastaavan lineaarisen tilaa. Toisin sanoen, jos verkko kaavioita päällekkäin, koordinaatit määrittää jokainen kaavion oltava differentiable suhteen koordinaatit määritellään jokaisen kaavion atlas. Kartat, jotka liittyvät koordinaatit määritellään eri kaavioita toisiinsa kutsutaan siirtyminen karttoja.

Differentiability tarkoittaa eri asioita eri yhteyksissä kuten: jatkuvasti derivoituva, k kertaa derivoituva, sileä, ja holomorphic. Lisäksi, kykyä indusoida tällainen ero rakenne abstrakti tila mahdollistaa yhden määritelmän laajentaminen differentiability tiloihin ilman globaali koordinaattijärjestelmä järjestelmiä. Ero rakenne mahdollistaa yhden määritellä maailmanlaajuisesti derivoituva tangentti tilaa, differentiable toimintoja, ja derivoituva tensor ja vektori aloilla. Differentiable pakosarjat ovat erittäin tärkeitä fysiikan. Erityisiä erilaisia ​​differentiable manifolds muodostavat perustan fysiikan teorioiden, kuten klassinen mekaniikka, yleinen suhteellisuusteoria, ja Yang-Mills teoria. On mahdollista kehittää hammaskiven varten derivoituva manifolds. Tämä johtaa kuten matemaattisia koneita kuin ulkoa calculus. Tutkimus calculus differentiable pakosarjat kutsutaan differentiaaligeometriaan.

Historia

Syntyminen differentiaaligeometriaan erillisenä kurinalaisuutta on yleensä hyvitetään Carl Friedrich Gauss ja Bernhard Riemann. Riemannin ensimmäinen kuvattu manifolds kuuluisassa habilitation luento ennen tiedekunnan Göttingen. Hän motivoi ajatusta moninaiset intuitiivinen prosessi vaihtelevan tietyn esineen uuteen suuntaan, ja presciently kuvattu rooli koordinoida järjestelmien ja kaavioita myöhemmin virallisen kehitys:

Teoksia fyysikkojen kuten James Clerk Maxwell, ja matemaatikot Gregorio Ricci-Curbastro ja Tullio Levi-Civita johti kehitystä tensor analyysi ja käsite kovarianssin, joka tunnistaa luontainen geometrinen omaisuutta, joka on invariantti suhteessa koordinaattimuunnokset . Nämä ajatukset löytyi avain hakemuksen Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian ja sen taustalla vastaavuus periaate. Moderni määritelmä 2-ulotteinen moninaiset annettiin Hermann Weyl hänen 1913 kirjan Riemannin pinnat. Laajalti hyväksytty yleinen määritelmä moninaiset kannalta atlas johtuu Hassler Whitney.

Määritelmä

Esittely topologinen jakotukin on toinen numeroituva Hausdorff tilaa, joka on paikallisesti homeomorphic lineaariseen tilaan, jota kokoelma homeomorphisms kutsutaan kaavioita. Koostumus yhden kaavion kanssa käänteinen toisen kaavio on toiminto nimeltään siirtyminen kartta, ja määrittelee homeomorfismi avoimen osajoukko lineaarisen tilaa toiselle avoin osajoukko lineaarisen tilaa. Tämä virallistaa käsite "kauneuspilkku yhdessä paloja tilaa tehdä moninaisia" - moninaiset tuotettu myös tiedot siitä, miten se on paikattu yhdessä. Kuitenkin eri kartastot voi tuottaa "sama" moninainen; moninaisia ​​ei tule edullisen atlas. Ja näin, yksi määrittelee topologinen moninaiset olla tilaa kuin yllä vastaavuus luokan kartastot, jossa yksi määrittelee vastaavuudesta kartastoista alla.

On olemassa useita erilaisia ​​differentiable pakosarjat, riippuen tarkasta differentiability vaatimuksia siirtyminen toimintoja. Joitakin yleisiä esimerkkejä ovat seuraavat.

  • Differentiable jakotukki on topologinen moninaiset varustettu vastaavuus luokan kartastoja joiden siirtyminen kartat ovat derivoituva. Laajemmin, C-pakosarja on topologinen jako- atlas jonka siirtyminen kartat ovat kaikki K-aikoina jatkuvasti derivoituva.
  • Sileä pakosarja tai C-pakosarja on differentioituva moninaisia, jolle kaikki siirtyminen kartat ovat sileä. Eli johdannaiset kaikki tilaukset olemassa; joten se on C-moninaisia ​​kaikille k. Yhtäläisyysluokan tällaisten kartastoja sanotaan olevan sileä rakenne.
  • Analyyttinen pakosarja, tai C-pakosarja on sileä moninaiset kanssa lisäehto että jokainen siirtymä kartta on analyyttinen: Taylorin on täysin yhtenevä ja vastaa toiminnon avoimia pallo.
  • Monimutkainen jakotukki on topologinen avaruus mallin euklidisen tilaa yli monimutkainen kenttä ja jonka kaikki siirtymistä kartat ovat holomorphic.

Vaikka on mielekäs käsite C atlas, ei ole erillistä käsitettä C moninaiset muu kuin C ja C, koska jokaista C-rakenne K & gt; 0, on ainutlaatuinen C yhtä C-rakenne, - tuloksena Whitney. Lisäksi kaksi C kartastot, jotka vastaavat yhden C atlas vastaavat kuin C kartastot, joten kaksi erillistä C kartastot eivät törmää. Katso Differential rakenne: olemassaolo ja ainutlaatuisuus teoreemojen lisätietoja. Siten yksi käytetään termejä "differentiable moninainen" ja "pehmeä moninainen" vaihtokelpoisesti; tämä on jyrkässä ristiriidassa C karttoja, joissa on merkittäviä eroja eri k. Esimerkiksi, Nash upottaminen lause todetaan, että pakosarja voi olla C isometrisesti upotettu euklidinen avaruus R - mistään 1 ≤ k ≤ ∞ on riittävän suuri N, mutta N riippuu k.

Toisaalta, monimutkainen manifolds ovat huomattavasti rajoittavampia. Esimerkiksi Chow lause todetaan, että kaikki projektiivinen monimutkainen moninaiset on itse asiassa projective erilaisia ​​- se on algebrallinen rakenne.

Kartastot

Kaavioita moninaiset

Atlas topologinen avaruus X on kokoelma parien {} kutsutaan kaavioita, joissa Uα ovat avoimet joukot, jotka kattavat X, ja kunkin indeksin α

on homeomorfismi on Uα päälle avoin osajoukko n-ulotteinen todellinen tila. Siirtyminen kartat atlas ovat toiminnot

Jokaisella topologinen pakosarja on atlas. C-atlas on atlas jonka siirtyminen kartat ovat C. topologinen jakotukki on C-kartasto ja yleensä C-Sarjassa on C-atlas. Jatkuva atlas on C atlas, sileä atlas on C kartasto ja analyyttinen atlas on C atlas. Jos atlas on vähintään C, sitä kutsutaan myös ero rakenne tai differentiable rakenne. Holomorphic atlas on atlas jonka taustalla euklidinen avaruus on määritelty monimutkainen kenttä ja joiden siirtyminen kartat ovat biholomorphic.

Yhteensopiva kartastot

Eri kartastot voi aiheuttaa pohjimmiltaan sama moninaiset. Ympyrä voidaan sovittaa kahdella koordinoida kaavioita, mutta jos verkkotunnukset näistä kartat ovat muuttuneet hieman erilainen Atlas saman jakotukin saadaan. Nämä eri kartastot voidaan yhdistää isompi atlas. Se voi käydä niin, että siirtyminen kartat tällaisen yhdistetyn atlas eivät ole yhtä sujuvaa kuin osatekijän kartastoja. Jos C-kartastoista voidaan yhdistää muodostamaan C-atlas, niin niitä kutsutaan yhteensopivia. Yhteensopivuus kartastoja on ekvivalenssirelaatio; yhdistämällä kaikki karttakirjat ekvivalenssiluokassa, maksimaalinen atlas voidaan rakentaa. Jokainen C atlas kuuluu ainutlaatuinen maksimaalinen C atlas.

Vaihtoehtoiset määritelmät

Pseudogroups

Käsite pseudogroup tarjoaa joustavan yleistys karttakirjoja jotta erilaisia ​​rakenteita määriteltävä manifolds yhdenmukaisella tavalla. Pseudogroup koostuu topologinen avaruus S ja kokoelma Γ koostuu homeomorphisms avoimista alijoukoista S muut avoimet subsets S siten, että

  • Jos f ∈ Γ, ja U on avoin osajoukko verkkotunnus f, sitten rajoitus f | U on myös Γ.
  • Jos f on homeomorfismi peräisin liitto avoimen osajoukkoja S ,, avoimeen osajoukko S, niin f ∈ Γ säädetty jokaiselle i.
  • Jokaista avoin U ⊂ S, identiteetin muutosta U on Γ.
  • Jos f ∈ Γ, niin f ∈ Γ.
  • Koostumus kaksi osaa Γ on Γ.

Nämä viimeiset kolme edellytystä ovat analogisia määritelmää ryhmä. Huomaa, että Γ ei tarvitse olla ryhmä, mutta koska toiminnot eivät ole maailmanlaajuisesti määritelty S. Esimerkiksi kokoelma kaikki paikalliset C: diffeomorphisms t muodostavat pseudogroup. Kaikki biholomorphisms avoimesta setit C ovat pseudogroup. Lisää esimerkkejä ovat: suuntautuminen säilyttäminen kartat R, symplectomorphisms, Möbiuskuvausten, affiinimuunnokset, ja niin edelleen. Näin ollen erilaisia ​​funktion luokkien määrittämiseksi pseudogroups.

Atlas of homeomorphisms OI peräisin Ui ⊂ M avata osajoukkoja topologinen avaruus S sanotaan olevan yhteensopiva pseudogroup Γ että siirtyminen toiminnot φj O OI: OI → φj ovat kaikki Γ.

Differentioituva pakosarja on sitten atlas yhteensopiva pseudogroup C toimintoja R. Monimutkainen pakosarja on atlas yhteensopiva biholomorphic toimintoja avoimet joukot C. Ja niin edelleen. Näin pseudogroups tarjota yhtenäiset puitteet, jossa kuvata monia rakenteita pakosarjat tärkeitä differentiaaligeometriaan ja topologia.

Rakenne nippu

Joskus se voi olla hyödyllistä käyttää vaihtoehtoista lähestymistapaa antaa jako- C-rakenne. Tässä k = 1, 2, ..., ∞ tai ω todellinen analyyttinen manifolds. Sen sijaan suunnittele koordinoida kaavioita, on mahdollista aloittaa toimintojen määritelty moninaiset itse. Rakenne nippu M, merkitään C, on eräänlainen functor, jossa määritellään kunkin avoin joukko U ⊂ M, algebran C jatkuvien toimintojen U → R rakenne nippu C sanotaan antaa M rakenne C moninaisia ulottuvuus n edellyttäen, että kaikki p ∈ M, on olemassa naapurustossa U p ja n toimintoja X, ..., x ∈ C, että kartalla f =: U → R on homeomorfismi päälle avoin joukko T , ja sellainen, että C | U on vetäytyminen on nippu K-kertaa jatkuvasti derivoituva toimintoja R.

Erityisesti viimeksi mainittu edellytys tarkoittaa, että funktio h C, V, voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti kuin h = h (x, ..., x), missä H on K-kertaa differentiable toiminto f. Siten sheaf-teoreettinen näkökulma on, että toimintoja differentioituva jakotukin voidaan ilmaista paikallisissa koordinaatit differentiable toimintoja R, ja sitä suuremmalla syyllä tämä riittää kuvaamaan ero rakenteen moninaiset.

Lyhteitä paikallisten renkaat

Samanlainen, mutta enemmän teknisiä, määrittelyllä differentiable manifolds voidaan formuloida käyttämällä käsitettä norppa tilaa. Tämä lähestymistapa vaikuttaa voimakkaasti teorian järjestelmien algebrallinen geometria, mutta käyttää paikallisia renkaat bakteereita differentiable toimintoja. Se on erityisen suosittu yhteydessä monimutkaisia ​​manifolds.

Aloitamme kuvaamalla perusrakenne sheaf on R. Jos U on avoin joukko T, anna

koostuvat kaikista reaaliarvoisten K-kertaa jatkuvasti derivoituva toimintoja U. U vaihtelee, tämä määrää nippu renkaita R. väijyä Op p ∈ R koostuu bakteereita toimintoja lähellä p, ja on algebra yli R. Erityisesti tämä on paikallinen rengas, jonka ainutlaatuinen maksimaalinen ihanne koostuu niistä toiminnoista, jotka häviävät s. Pari on esimerkki paikallisesti norppa tilaa: se on topologinen avaruus varustettu nippu jonka varret ovat kunkin paikallisen renkaita.

Differentioituva jakotukki koostuu kahdesta jossa M on toinen numeroituva Hausdorff tilaa, ja OM on nippu paikallisen T-algebras määritelty M, niin että paikallisesti rengastettu tila on paikallisesti isomorfinen. Näin derivoituva manifolds voidaan ajatella järjestelmien mallina R. Tämä tarkoittaa, että jokainen piste p ∈ M, on naapurustossa U p, ja pari toimintoja, joissa

  • f: U → f ⊂ R on homeomorfismi päälle avoin asetettu R.
  • f: O | f → f * on isomorfismi narupyöriä.
  • Lokalisointi f on isomorfismi paikallisia renkaat

On olemassa useita tärkeitä motiiveja opiskeluun differentiable pakosarjat tässä abstrakti yhteydessä. Ensinnäkin, ei ole mitään erityistä syytä, miksi että malli tila on oltava R. Esimerkiksi voisi ottaa tämän olevan tilan kompleksilukujen C varustettu nippu holomorphic toimintoja, tai nippu polynomien. Yleisesti ottaen tämä käsite voidaan sovittaa tahansa sopiva käsite järjestelmän. Toiseksi, koordinaatit eivät enää nimenomaisesti tarpeen rakentamiseen. Analogi koordinaatiston on pari, mutta nämä vain määrällisesti ajatus paikallisen isomorfismi sijaan, että keskeinen keskusteluun. Kolmanneksi, sheaf OM ei ole selvästi nippu tehtäviä kaikilla. Vaan se nousee nippu toimintojen seurauksena rakentamiseen. Siksi on enemmän primitiivinen rakenteen määrittelystä.

Lopullinen tämän lähestymistavan etu on, että se mahdollistaa luonnollisen suoran kuvaukset monien perusoikeuksien esineitä tutkimuksen differentiaaligeometriaan ja topologia.

  • Kotangentin tilaa piste on IP / IP, jossa Ip on maksimaalinen ihanne varsi OM, s.
  • Yleensä koko kotangentti nippu voidaan saada liittyvä tekniikka.
  • Taylorin sarja voidaan lähestyä koordinoida riippumattomalla tavalla käyttäen IP-adic suodattamalla OM, s.
  • Tangentti nippu voidaan tunnistaa nippu morphisms OM kehään dual numerot.

Differentiable toiminnot

Todellinen funktio f on n-ulotteinen differentioituva moninaiset M kutsutaan differentiable pisteessä p ∈ M jos se on derivoituva tahansa koordinaatin kaaviossa määritelty noin s. Täsmällisemmin, jos on kaavio, jossa U on avoin joukko M sisälsi p ja φ: U → R on kartta määritellään kaavio, niin f on derivoituva jos ja vain jos

on derivoituva klo φ. Yleensä siellä on paljon saatavilla kaavioita; kuitenkin, määritelmä differentiability ei riipu valinnasta kaavion s. Seuraa ketjusäännön sovellettu transitiofunktiot yhdestä kaavion ja toinen, että jos f on derivoituva missään tietyssä kaavion s, niin se on derivoituva kaikilla kaavioita s. Samaa päättelyä on sovellettava määriteltäessä C toimintoja, sileä toimintoja, ja analyyttinen toimintoja.

Eriyttäminen toimintoja

On olemassa erilaisia ​​tapoja määritellä johdannainen toiminnon differentioituva moninaiset, keskeisimpiä joka on suunnattu johdannainen. Määritelmä suuntaava johdannainen vaikeuttaa se, että jakoputken puuttuu sopiva affiini rakenne, joka määrittää vektoreita. Suuntaava johdannainen siis tarkastellaan käyrien moninaiset sijaan vektoreita.

Suunnattu eriyttäminen

Koska todellinen funktio f on m ulotteinen differentioituva moninaiset M, suuntaava johdannainen f pisteessä p M määritellään seuraavasti. Oletetaan, että γ on käyrä M γ = p, joka on derivoituva siinä mielessä, että sen koostumus minkä tahansa kaavion on derivoituva käyrä R. Sitten suuntaava derivaatta f p pitkin γ on

Jos γ1 ja γ2 kaksi käyrät niin että γ1 = γ2 = p, ja joka koordinoi kaavion φ,

sitten, että ketjun sääntö, f on sama suunta johdannaisen s pitkin γ1 kuin pitkin γ2. Tämä tarkoittaa sitä, että suunta-johdannainen riippuu vain tangentti käyrä s. Näin enemmän abstraktin määritelmän suuntaava eriyttäminen mukautetaan differentiable manifolds lopulta kaappaa intuitiivinen piirteitä suuntaava erilaistumisen affine tilaan.

Tangentti vektorit ja ero

Tangentti vektorin p ∈ M on yhtäläisyysluokan differentiable käyrät γ kanssa γ = p, modulo ekvivalenssirelaatio ensimmäisen kertaluvun kosketus käyriä. Näin ollen,

joka koordinoi kaaviossa φ. Siksi ekvivalenssiluokkia ovat käyrät tulosvaikutteisesti kanssa määrätty nopeusvektorin s. Kokoelma kaikkia tangentti vektorit p muodostaa vektoriavaruuden: tangentti tila M P, merkitään TPM.

Jos X on tangentti vektorin s ja fa differentiable määritetty toiminto lähellä p, sitten erottaa f minkä tahansa käyrän yhtäläisyysluokan määritellään X antaa hyvin määritelty suuntaava johdannainen pitkin X:

Jälleen kerran, ketju sääntö toteaa, että tämä on riippumaton vapaus valita γ alkaen yhtäläisyysluokan, koska mitään käyrä samalla ensimmäisen kertaluvun kosketus tuottaa sama suunta johdannainen.

Jos funktio f on vahvistettu, kartoitus

on lineaarinen toiminnallisia tangentti tilaa. Tämä lineaarinen toiminnallinen on usein merkitty DF ja kutsutaan ero f p:

Väliseinät yhtenäisyyden

Yksi topologinen ominaisuuksia nippu differentiable toimintoja differentioituva pakosarja on, että se myöntää osioita yhtenäisyyden. Tämä erottaa ero rakenne moninaiset voimakkaampien rakenteita, jotka yleensä eivät ole osioita yhtenäisyyden.

Oletetaan, että M on moninainen luokan C, missä 0 ≤ k ≤ ∞. Olkoon {Uα} olla avoin peittäminen M. Sitten osio yhtenäisyyden alainen kansi {Uα} on kokoelma reaaliarvoisen C funktioiden OI M täyttävät seuraavat ehdot:

  • Tuet on OI ovat kompakteja ja paikallisesti rajallinen;
  • Tuki OI on täysin sisältyvät Uα joidenkin α;
  • OI summa on yksi jokaisessa pisteessä M:

Jokainen avoin peittäminen C jakoputken M on C osio yhtenäisyyden. Tämä mahdollistaa tiettyjen rakennelmat siitä topologia C toimintoja R siirretään luokkaan differentiable manifolds. Erityisesti on mahdollista keskustella integraation valitsemalla osion yhtenäisyyden alaisuudessa etenkin koordinoi atlas, ja suorittamalla integrointi kussakin kaaviossa R. Väliseinät yhtenäisyyden vuoksi mahdollistavat tiettyjä muitakin funktio välilyöntejä voidaan huomioida: Esimerkiksi L tilat, Sobolev tilat, ja muita erilaisia ​​tiloja, jotka vaativat integraatiota.

Differentiability kuvausten välillä manifolds

Oletetaan M ja N ovat kaksi derivoituva manifolds kanssa mitat m ja n, vastaavasti, ja f on funktio M N. Koska differentiable haaroitukset ovat topologinen välilyöntejä tiedämme, mitä se merkitsee f on jatkuva. Mutta mitä "f on C" merkitsee k ≥ 1? Tiedämme, mitä tämä tarkoittaa, kun f on funktio välillä Euclidean spaces, joten jos säveltää f kanssa kaavio M ja kaavio N siten, että saamme kartan joka kulkee Euklidinen tilaa M N euklidinen avaruus tiedämme, mitä se merkitsee, että kartta on C. Määrittelemme "f on C" tarkoittaa, että kaikki tällaiset koostumukset f kaavioita ovat C. jälleen ketjusäännön takaa, että ajatus differentiability ei riipu joka kaavioita kartastoja on M ja N valitaan. Kuitenkin määritellään johdannainen itse on hienovaraisempaa. Jos M tai N on itsessään jo euklidinen avaruus, niin meidän ei tarvitse kaavion kartoittaa sen yhteen.

Algebra skalaarijono

Saat C moninaiset M, joukko reaaliarvoisen C toimintoja pakosarjan muodostaa algebran alle pisteittäin ja kertolaskua, kutsutaan algebran skalaari pelloilla tai yksinkertaisesti algebran skalaarijono. Tämä algebra on vakio toiminto 1, kun kerrannaisvaikutuksia identiteetti, ja on derivoituva analoginen renkaan säännöllisesti toimintoja algebrallinen geometria.

On mahdollista rekonstruoida moninaisia ​​sen algebran skalaarijono, ensin asettaa, mutta myös topologinen avaruus - tämä on sovellus Banach-Stone lause, ja on virallisemmin tunnetaan spektri C * -algebra . Ensinnäkin on yksi-yhteen vastaavuus pisteiden M ja algebran homomorfisuudella φ: C → R, sellaisenaan homomorfismi φ vastaa codimension yksi ihanne C, joka on välttämättä maksimaalinen ihanne. On päinvastainen, joka maksimaalinen ihanteellinen tässä algebran on ihanteellinen toimintoja häviämässä yhdessä pisteessä, joka osoittaa, että MSpec C toipuu M kuin pisteen joukko, vaikka itse asiassa se toipuu M: topologinen avaruus.

Voidaan määritellä erilaisia ​​geometrisia rakenteita algebrallisesti kannalta algebran skalaarijono, ja nämä määritelmät usein yleistää ja algebrallinen geometria ja operaattorin teoriaa. Esimerkiksi, tangentti nippu M voidaan määritellä johdannaisia ​​algebran sileä toimintoja M.

Tämä "algebraization" ja moninaiset johtaa käsitteen C * -algebra - kommutatiivinen C * -algebra olisi juuri rengas skalaarijono of moninaiset, jonka Banach-Stone, ja mahdollistaa yhden harkita noncommutative C * -algebras kuin ei-kommutatiivinen yleistyksiä manifolds. Tämä on perusta alan noncommutative geometria.

Kimput

Tangent Bundle

Tangentti tila pisteen koostuu mahdollinen suunta johdannaiset tuolloin, ja on sama ulottuvuus n samoin moninaiset. Saat koordinaatistossa Xk paikallisia siihen pisteeseen, koordinoida johdannaiset tyypillisesti määritellä perusteella tangentti tilaa. Kokoelma tangentti tilat kaikissa kohdissa voidaan puolestaan ​​valmistaa moninaiset, tangentti nippu, jonka ulottuvuus on 2n. Tangentti kimppu on jossa tangentti vektorit valehdella, ja on itse derivoituva moninaiset. Lagrangen on toiminto tangentti nippu. Yksi voi myös määritellä tangentti nippu kuin kimppu 1-suihkujen R M.

Voidaan rakentaa Atlas varten tangentti kimppu kaavioista koostuva perustuu Uα x R, jossa Uα tarkoittaa yksi kaavioita atlas M. Kukin näistä uusia karttoja on tangentti nippu karttojen Uα. Siirtyminen kartat Atlas on määritelty siirtymisestä kartat alkuperäisen moninaiset, ja säilyttää alkuperäisen differentiability luokka.

Cotangent Bundle

Kaksi tilaa vektoriavaruuden on joukko reaaliarvoisen lineaarisia toimintoja vektoriavaruus. Kotangentin tilaa kohtaan on kaksi tangentin tilaa tässä vaiheessa, ja kotangentti nippu on kokoelma kaikkien kotangentti tilat.

Kuten tangentti niputtaa kotangentin nippu on jälleen derivoituva moninaiset. Hamiltonin on skalaari päällä kotangentti nippu. Yhteensä tilaa kotangentin nippu on rakenne symplectic moninaiset. Kotangentin vektoreita kutsutaan joskus covectors. Yksi voi myös määritellä kotangentin nippu kuin kimppu 1-suihkujen toimintoja M R.

Elementtejä kotangentin tila voidaan ajatella äärettömän siirtymät: jos f on derivoituva funktio voimme määritellä kussakin vaiheessa pa kotangentin vektori DFP, joka lähettää tangenttivektori XP johdannainen f liittyy Xp. Ei kuitenkaan jokainen covector kenttä voidaan ilmaista tällä tavalla. Ne, jotka voivat kutsutaan juuri eroja. Tietyn joukko paikallisia koordinaattien x erot dxk
p muodostavat perusteella kotangentin tilaa s.

Tensor Bundle

Tensori Bundle on suora summa tensor tuotteiden tangentti Bundle ja kotangentti nippu. Jokainen elementti nipun on tensorikenttä, joka voi toimia Multilineaarinen toimija Vektorikentät tai muihin tensori aloilla.

Tensor nippu voi olla differentioituva moninaisia, koska se on ääretön ulotteinen. On kuitenkin algebra yli rengas skalaarifunktioita. Jokainen tensor on ominaista sen riveissä, joka ilmoittaa, kuinka monta tangentti ja kotangentin tekijät se on. Joskus nämä riveissä kutsutaan covariant ja contravariant riveissä, merkitsee tangentti ja kotangentin riveissä, vastaavasti.

Runko nippu

Kehys on tilannut perusteella erityisesti tangentti tilaa. Samoin tangentti kehys on lineaarinen isomorfismi R tähän tangentti tilaan. Liikkuva tangentti kehys on järjestetty lista Vektorikentät jotka antavat perustan joka kohdassa niiden verkkotunnusten. Voidaan myös katsoa liikkuvan kehyksen osa runko nippu F, GL pääasiallinen nippu koostuu asetettu kaikkien kehysten yli M. runko nippu on hyödyllinen, koska tensori kentät M voidaan pitää equivariant vektori-funktioiden on F.

Jet nippua

On moninaisia, joka on riittävän sileä, erilaisia ​​jet niput voidaan myös harkita. Tangentti kimppu moninaisia ​​on kokoelma käyrien moninaiset modulo ekvivalenssirelaatio ensimmäisen kertaluvun kontakti. Vastaavasti K: nnen kertaluvun tangentti nippu on kokoelma käyriä modulo suhde k: nnen kertaluvun yhteyttä. Samoin kotangentti nippu on nippu 1-suihkujen toimintoja moninaiset: K-jet nippu on nippu heidän K-suihkukoneet. Nämä ja muut esimerkit yleisen ajatuksen jet nippujen on merkittävä rooli tutkimuksessa ero toimijoiden manifolds.

Käsite kehyksen myös yleistää tapaukseen korkeamman asteen suihkukoneita. Määritä K: nnen kertaluvun kehyksen K-jet diffeomorfismi R M. kokoelma kaikkia k: nnen järjestyksessä kehyksiä, F, on periaate G nippu yli M, jossa G on ryhmä K-suihkukoneet ; eli ryhmä koostuu K-suihkujen diffeomorphisms R että korjata alkuperä. Huomaa, että GL on luonnollisesti isomorfinen G ja alaryhmä Jokaisen G, k ≥ 2. Erityisesti osa F antaa rungon osat yhteyden M. Siten osamäärä nippu F / GL on nippu lineaarisen yhteyksien M.

Calculus pakosarjat

Monet tekniikoita monimuuttuja calculus myös soveltuvin osin, että derivoituva manifolds. Voidaan määritellä suuntaava johdannainen differentiable funktion pitkin tangentti moninaisia, esimerkiksi, ja tämä johtaa keinoja yleistäen koko johdannainen toiminto: ero. Näkökulmasta hammaskiveä, johdannainen toiminnon moninaiset käyttäytyy hyvin samalla tavalla kuin varsinainen johdannainen toiminnon määritelty euklidisen tilaa, ainakin paikallisesti. Esimerkiksi, on olemassa versioita implisiittinen ja käänteisfunktio lauseet tällaisia ​​toimintoja.

On kuitenkin merkittäviä eroja calculus vektori aloilla. Lyhyesti, suuntaava johdannainen vektorikentän ei ole hyvin määritelty, tai ainakaan määritelty suoraviivaisesti. Useat yleistykset johdannaisen vektorikentän olemassa, ja kaapata tiettyjä muodollisia piirteitä erilaistumista Euclidean tiloissa. Tärkeimpiä näistä ovat:

  • Lie johdannainen, joka on ainutlaatuinen määritelty ero rakenne, mutta ei täytä joitakin tavanomaiset ominaisuudet suuntaava erilaistumista.
  • Affiini yhteys, joka ei ole yksikäsitteisesti määritelty, mutta yleistää entistä tyhjentävästi ominaisuudet tavallisten suuntaava erilaistumista. Koska affiini yhteys ei ole ainutlaatuinen, se on ylimääräinen sisältäviä tiedostoja, jotka on eriteltävä moninaiset.

Ideoita integraalilaskentaa myös siirtää differentiaalisiksi manifolds. Nämä ovat luonnollisesti ilmaistu kielellä ulko hammaskiven ja ero muotoja. Perustavanlaatuinen teoreemojen integraalilaskentaa useissa muuttujia eli Greenin lause, divergessilause, ja Stokesin lause yleistää että lause liittyvät ulko johdannainen ja integraatio yli submanifolds.

Differentiaalilaskenta toimintoja

Differentiable tehtävät kahden manifolds tarvitaan, jotta muotoilla sopiva käsitteet submanifolds ja muut asiaan liittyvät käsitteet. Jos f: M → N on derivoituva funktion differentioituva moninaiset M ulottuvuuden m toiseen differentioituva moninaiset N ulottuvuuden n, niin ero f on kartoitus DF: TM → TN. Se myös merkitty Tf ja kutsui tangentti kartalla. Jokaisessa pisteessä M, tämä on lineaarinen muunnos yhdestä tangentti tilaa toiseen:

Sijoitus f p on sijoitus tämän lineaarisen muunnoksen.

Yleensä sijoitus toiminto on pisteittäin omaisuutta. Jos toiminto on maksimaalinen listalla, niin sijoitus pysyy vakiona naapurustossa poiint. Differentiable toiminto "yleensä" on maksimaalinen sijoitus, tarkasti mielessä antama Sard lause. Toiminnot maksimaalisesta listalla pisteessä kutsutaan immersions ja upotus:

  • Jos m ≤ n, ja f: M → N on listalla m p ∈ M, niin f on nimeltään immersio s. Jos f on upottamalla kaikissa kohdissa M ja on homeomorfismi päälle sen kuvan, niin f on upotus. Upotukset virallistaa käsite M on submanifold N. Yleensä upotus on upottamalla ilman itse risteyksiä ja muunlaisia ​​muita kuin paikallisia topologinen väärinkäytöksiä.
  • Jos m ≥ n, ja f: M → N on listalla n p ∈ M, niin f on nimeltään upottamisen s. Implisiittinen funktio lause todetaan, että jos f on upottamisen p, niin M on paikallisesti tuote N ja R lähellä s. Muodollisesti olemassa koordinaatit naapurustossa f N ja m-n toimintoja x1, ..., XM-n määritelty naapurustossa p M siten, että

Lie johdannainen

Lie johdannainen, nimetty Sophus Lie, on johdettu siitä algebran tensor kentät yli moninaiset M. vektoriavaruus Kaikkien Lie johdannaisten M muodostaa ääretön ulotteinen Lien algebran suhteen Lie kiinnike määritelty

Lie johdannaisia ​​edustaa Vektorikentät, koska äärettömän tuottajina rahavirrat M. Tarkasteltaessa se toisinpäin, ryhmä diffeomorphisms M on liittynyt Lie algebran rakenne, Lie johdannaisia, tavalla suoraan analoginen Lie ryhmä teoria.

Ulkopuoli hammaskiven

Ulkopuolinen calculus mahdollistaa yleistys kaltevuus, divergenssi ja kiharaa toimijoille.

Kimppu ero lomakkeita, jokaisessa pisteessä, koostuu kaikista täysin antisymmetrinen Multilineaarinen karttoja tangentti tilaa tässä vaiheessa. Se on luonnollisesti jaetaan n-muotoihin kukin n on korkeintaan ulottuvuuden jakoputken; n-muoto on n muuttujan muodossa, jota kutsutaan myös muoto astetta n. 1-muodot ovat kotangentin vektorit, kun taas 0-lomakkeet ovat vain skalaarifunktioita. Yleensä n-muoto on tensori kanssa kotangentin listalla n ja tangentti listalla 0. Mutta ei jokainen tällainen tensori on muoto, muotona on oltava antisymmetrinen.

Ulkopuoli johdannainen

On kartan skalaarit ja covectors kutsutaan ulkopuoli johdannainen

siten, että

Tämä kartta on se, joka koskee covectors on äärettömän siirtymien, edellä mainittu; jotkut covectors ovat ulko johdannaiset skalaarifunktioita. Se voidaan yleistää kartan n-lomakkeet päälle-muodoissa. Soveltamalla tätä johdannainen kahdesti tuottaa nolla muodossa. Lomakkeet nolla johdannaisen kutsutaan suljetun muotoja, kun taas muodot, jotka ovat itse ulko johdannaisia ​​kutsutaan tarkka muotoja.

Tilaa ero lomakkeita piste on arkkityyppinen esimerkki ulko algebran; Näin sillä on kiila tuote, kartoittamalla K-muoto ja L-muoto -muotoa. Ulkopuolinen johdannainen ulottuu tämän algebran, ja täyttää version tuotteesta sääntö:

Alkaen ero muodot ja ulkopuolen johdannainen, voidaan määritellä de Rham Kohomologia jakotukin. Sijoitus n Kohomologia ryhmä on osamäärä ryhmä suljetun lomakkeet tarkka muotoja.

Topologia differentiable manifolds

Suhde topologinen manifolds

Jokainen topologinen moninkertainen ulottuvuus 1, 2 tai 3 on ainutlaatuinen ero rakenne; näin käsitteet topologinen ja differentiable moninaisia ​​ovat erillisiä ainoastaan ​​korkeampiin ulottuvuuksiin. Tiedetään, että jokaisessa korkeammassa ulottuvuudessa, on olemassa joitakin topologinen manifolds ilman sileä rakenne, ja joissakin on useita ei-diffeomorfiset rakenteita.

Olemassaolo ei smoothable manifolds osoitettiin Kervaire, katso Kervaire moninaisia, ja selitti myöhemmin yhteydessä Donaldson lause; hyvä esimerkki ei-smoothable pakosarja on E8 moninaiset.

Klassinen esimerkki manifolds useita yhteensopimattomia rakenteet ovat eksoottisia 7-aloilla John Milnor.

Luokitus

Joka toisen laskettavissa 1-jakotukki ilman raja on homeomorphic on erilliset liitto numeroituvasti monta kappaletta R ja S; ainoa kytketty esimerkit ovat R- ja S, ja näistä vain S on kompakti. Vuonna korkeampiin ulottuvuuksiin, luokitus teoria yleensä keskitytään vain kompakti kytketty manifolds.

Jotta luokitus 2-manifolds, katso pinta: erityisesti kompakti kytketty suuntautunut 2-jakotukit luokitellaan niiden suvun, joka on positiivinen kokonaisluku.

Luokitus 3-manifolds seuraa lähtökohtaisesti geometrization 3-manifolds ja eri tunnustusta tulokset geometrizable 3-manifolds, kuten Mostow jäykkyys ja Sela n algoritmi isomorphism ongelma hyperbolic ryhmille.

Luokittelu n-putkiin n on suurempi kuin kolme tiedetään olevan mahdollista, jopa Homotopia vastaavuutta. Antanut mitään finitely esitetty ryhmä, voidaan rakentaa suljettu 4-pakosarja ottaa että ryhmä perustava. Koska ei ole olemassa algoritmi päättää isomorphism ongelma äärellisen esitetty ryhmille, ei ole algoritmi päättää, jos kaksi 4-pakosarjat on sama perustava. Koska aiemmin kuvattu rakentamisen tulokset luokkaansa 4-manifolds jotka ovat homeomorphic jos ja vain jos niiden ryhmät ovat isomorfinen, homeomorfismi ongelma 4-manifolds on ratkeamaton. Lisäksi, koska jopa tunnustaa triviaali ryhmä on ratkeamaton, se ei ole edes mahdollista yleensä päättää, moninaisia ​​on triviaali perustava, eli yksinkertaisesti kytketty.

Yksinkertaisesti kytketty 4-manifolds on luokiteltu jopa homeomorfismi Freedman käyttäen risteys lomake ja Kirby-Siebenmann muuttumaton. Sileä 4-jakotukki teoria tiedetään olevan paljon monimutkaisempi, koska eksoottisia sileä rakenteita T osoittaa.

Tilanne kuitenkin muuttuu mukautuva yksinkertaisesti yhdistetty sujuvaa manifolds dimension ≥ 5, jossa h-cobordism lause voidaan käyttää vähentämään luokitus luokitus jopa Homotopia vastaavuus, ja leikkaus teoriaa voidaan soveltaa. Tämä on toteutettu antamaan nimenomainen luokittelu yksinkertaisesti kytketty 5-manifolds Dennis Barden.

Rakenteita pakosarjat

Riemannin manifolds

Riemannin moninaiset on differentioituva moninaisia, johon tangentti tilat on varustettu sisäinen tuotteiden derivoituva tavalla. Sisempi tuotteen rakenne on annettu muodossa symmetrisen 2-tensori kutsutaan Riemannin metristä. Tämä metrinen voidaan interkonvertoida vektoreita ja covectors, ja määritellä listalla 4 Riemannin kaarevuus tensori. On Riemannin moninaiset yksi on käsitteet pituus, tilavuus, ja kulma. Mikä tahansa differentioituva jakotukki voidaan antaa Riemannin rakenne.

Pseudo-Riemannin moninaiset on muunnelma Riemannin moninaiset jossa metrinen tensori saa olla toistaiseksi allekirjoitus. Pseudo-Riemannin manifolds allekirjoituspäivästä ovat tärkeitä yleinen suhteellisuusteoria. Ei jokainen differentioituva jakotukki voidaan antaa pseudo-Riemannin rakenne; on topologinen rajoituksia näin.

Finsler jakotukki on yleistys Riemannin moninaiset, jossa sisempi tuote korvataan vektorin normi; tämä mahdollistaa pituuden määritelmä, mutta ei kulmaa.

Symplectic pakosarjat

Symplectic pakosarja on moninaiset varustettu suljettu, nondegenerate 2-muodossa. Tämä ehto voimat symplectic kokoomaputkien olla jopa-ulotteinen. Kotangentin nippuja, jotka syntyvät vaihe välilyöntejä Hamiltonin mekaniikka, ovat motivoiva esimerkki, mutta monet kompakti haaroitukset myös symplectic rakenne. Kaikki suunnattavan pinnat upotettu euklidinen avaruus on symplectic rakenne, allekirjoitettu alue muodossa kunkin tangentti tilan aiheuttama ympäristön Eukleideen sisätulon. Jokainen Riemannin pinta on esimerkki tällaisesta pinta, ja näin ollen symplectic moninaiset, kun pitää todellisena moninaisia.

Lie ryhmien

Lie ryhmä on C moninaiset että myös kantaa konsernirakenne, jonka tuote ja inversio toiminta on sujuvaa karttoja manifolds. Nämä esineet syntyvät luonnostaan ​​kuvaamisessa symmetrioita.

Yleistyksiä

Luokka sileä manifolds kiiltävä karttoja puuttuu tiettyjä toivottuja ominaisuuksia, ja ihmiset ovat yrittäneet yleistää sileä pakosarjat jotta korjaamiseksi. Diffeological tilat käyttää eri käsite kaavion kutsutaan "juoni". Frölicher tilat ja orbifolds muitakin yrityksiä.

Korjattavissa asettaa yleistää ajatus paloittain sileä tai korjattavissa käyrä korkeampiin ulottuvuuksiin; kuitenkin, korjattavissa sarjat eivät yleensä manifolds.

  0   0
Edellinen artikkeli Islamilainen näkymä Raamatun
Seuraava artikkeli Hebat

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha