David Hilbert

David Hilbert oli saksalainen matemaatikko. Hän on tunnustettu yhdeksi maailman vaikutusvaltaisimmista ja yleinen matemaatikot 19. ja 20-luvulla. Hilbert löytänyt ja kehittänyt laajan valikoiman perusajatuksista monilla aloilla, kuten invariant teoria ja axiomatization geometrian. Hän myös muotoiltu teoria Hilbert tilojen, yksi perusta toiminnallisten analyysi.

Hilbert hyväksytty ja lämpimästi puolusti Georg Cantor n joukko-oppi ja transfinite numerot. Kuuluisa esimerkki hänen johdollaan matematiikan on hänen 1900 esittely kokoelma ongelmia, jotka asettavat kurssin paljon matemaattinen tutkimus 20-luvulla.

Hilbert ja hänen oppilaansa oli merkittävää apua selvitettäessä kurinalaisuuden ja kehittänyt tärkeitä välineitä käytetään nykyaikaisia ​​matemaattisen fysiikan. Hilbert tunnetaan yhtenä perustajista todiste teorian ja matemaattinen logiikka, sekä ensimmäisten joukossa erottaa matematiikan ja metamathematics.

Elämä

Hilbert, ensimmäinen kaksi lasta Otto ja Maria Therese Hilbert, syntyi maakunnassa Preussin - joko Königsbergin tai Wehlau lähellä Königsbergin, jossa hänen isänsä työskenteli tuolloin hänen syntymästään. Syksyllä 1872 hän tuli Friedrichskolleg Gymnasium, mutta sen jälkeen onneton aikana hän siirtyi ja valmistui enemmän tieteeseen suuntautunut Wilhelm Gymnasium. Valmistuttuaan hän kirjoittautui yliopistoon Königsbergin, "Albertina". Keväällä 1882, Hermann Minkowski, palasi Königsbergin ja meni yliopistoon. "Hilbert tiesi onneaan, kun hän näki sen. Huolimatta isänsä hylkäämisestä, hän pian ystävystyi ujo, lahjakas Minkowski." Vuonna 1884, Adolf Hurwitz saapui Göttingen kuten Extraordinarius eli dosentti. Intensiivistä ja hedelmällistä tieteellistä vaihtoa kolmesta alkoi, ja Minkowski ja Hilbert erityisesti käyttäisi vastavuoroinen vaikutusvaltaa toistensa eri aikoina heidän tieteellisen uransa. Hilbert saatu hänen tohtorin vuonna 1885, jossa väitöskirja, kirjallinen alla Ferdinand von Lindemannin, nimeltään Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen.

Hilbert pysyi yliopiston Königsbergin kuin Privatdozent alkaen 1886 1895. Vuonna 1892 Hilbert naimisissa Käthe Jerosch, "tytär Königsbergin kauppias, suorasanainen nuori nainen, jolla riippumattomuutta mielessä, että Hyväksytty oman". Vaikka Königsbergin heillä oli yksi lapsi, Franz Hilbert. Vuonna 1895, seurauksena interventio hänen puolestaan ​​Felix Klein, hän sai aseman professori Matematiikka yliopiston Göttingen, tuolloin paras tutkimuskeskuksen matematiikan maailmassa. Hän pysyi siellä loput elämästään.

Hänen poikansa Franz kärsinyt koko hänen elämäänsä diagnosoimaton psyykkinen sairaus: hänen huonompi äly oli kauhea pettymys hänen isänsä ja tämä epäonni oli kysymys kärsimystä matemaatikot ja opiskelijoiden Göttingen. Minkowski Hilbertin "paras ja todellisinta ystävä" kuoli ennenaikaisesti revennyt liite vuonna 1909.

Göttingen koulu

Niistä Hibert opiskelijat olivat Hermann Weyl, shakin Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, ja Carl Gustav Hempel. John von Neumann oli hänen avustajansa. Yliopistossa Göttingen, Hilbert ympäröi lähipiirissä joitakin tärkeimmistä matemaatikot 20-luvulla, kuten Emmy Noether ja Alonzo Church.

Yksi hänen 69 Ph.D. opiskelijat Göttingen oli monia, jotka myöhemmin tuli kuuluisa matemaatikot, mukaan lukien: Otto Blumenthal, Felix Bernstein, Hermann Weyl, Richard Courant, Erich Hecke, Hugo Steinhaus, ja Wilhelm Ackermann. Välillä 1902 ja 1939 Hilbert oli päätoimittaja Mathematische Annalen, johtava matemaattinen lehdessä ajan.

Myöhemmin

Hilbert asui nähdä natsit puhdistaa monet näkyvästi tiedekunnan jäsenet yliopistossa Göttingen vuonna 1933. Ne pakotetaan ulos mukana Hermann Weyl, Emmy Noether ja Edmund Landau. Joka joutui jättämään Saksan, Paul Bernays, oli tehnyt yhteistyötä Hilbert matemaattisen logiikan, ja mukana kirjoittamassa hänen tärkeä teos Grundlagen der Mathematik. Tämä oli jatkoa Hilbert-Ackermann kirja Principles of Mathematical Logic 1928.

Noin vuotta myöhemmin, Hilbert osallistui juhla ja istui vieressä uusi opetusministeri, Bernhard Rust. Ruoste kysyi, "Miten matematiikkaa Göttingen nyt, että se on vapautettu juutalaisten vaikutusvaltaa?" Hilbert vastasi, "Matematiikka Göttingen? Ei todellakaan mikään enää."

Mennessä Hilbert kuoli 1943, natsit olivat lähes täysin restaffed yliopiston, koska monet entisen tiedekunnan oli joko juutalaisia ​​tai naimisissa juutalaisia. Hilbert hautajaisiin osallistui alle kymmenen ihmistä, vain kaksi heistä olivat muiden tutkijoiden, joukossa Arnold Sommerfeld, teoreettinen fyysikko ja myös kotoisin Königsbergin. Hänen kuolemansa uutisia vain tuli tunnetuksi muualla maailmassa kuuden kuukauden kuluttua hän oli kuollut.

Hilbert kastettiin ja kasvanut reformoidun protestanttisen kirkon. Hän myöhemmin jätti kirkon ja tuli agnostikko. Hän väitti myös, että matemaattinen totuus oli riippumaton Jumalan olemassaolosta tai muiden priori oletuksia.

Muistokirjoitus hänen hautakivi Göttingenin koostuu kuuluisa linjat hän puhui päätteeksi eläkkeelle osoite Society of saksalaiset tiedemiehet ja Lääkärit 8. syyskuuta 1930. sanat annettiin vastauksena Latinalaisen maksiimi: "ignoramus et ignorabimus" tai "Emme tiedä, emme tiedä":

Englanniksi:

Päivä ennen Hilbert lausutaan näitä lauseita on 1930 vuosikokouksessa Society of saksalaiset tiedemiehet ja lääkärit, Kurt Gödel vuonna pyöreän pöydän keskustelussa aikana konferenssissa Epistemologia järjestettiin yhteistyössä seuran kokouksissa alustavasti ilmoitti ensimmäisen ilmaus hänen keskeneräisyyden lause.

Hilbert ratkaisee Gordan n Ongelma

Hilbert ensimmäinen työ invariantti toiminnot johti hänet mielenosoituksen vuonna 1888 hänen kuuluisan rajallisuudesta lause. Kaksikymmentä vuotta aikaisemmin, Paul Gordan oli osoittanut lause rajallisuudesta generaattorit binary lomakkeita monimutkaisia ​​laskutoimituksia lähestymistapa. Yrittää yleistää hänen tapa toimintoja enemmän kuin kaksi muuttujaa epäonnistui erittäin vaikeata laskelmien mukaan. Jotta voidaan ratkaista, mitä oli tullut tunnetuksi joissakin piireissä Gordan: n ongelma, Hilbert tajusi, että oli tarpeen ottaa täysin eri polkua. Tämän seurauksena hän osoitti Hilbertin perusteella lause, jotka osoittavat, että rajallinen joukko generaattorit, sillä invariants quantics minkä tahansa määrän muuttujia, mutta abstraktissa muodossa. Eli samalla osoittaa tällaisesta asetettu, se ei ollut rakentavaa todisteita se ei näytä "esine", vaan se oli olemassa todisteet ja vetosi käytöstä lain syrjäytyneiden Lähi vuonna ääretön laajennus.

Hilbert lähetti tulokset Mathematische Annalen. Gordan, talon asiantuntija teorian invariants varten Mathematische Annalen, ei arvostaa vallankumouksellinen luonne Hilbertin lause ja hylkäsi artikkelin, kritisoi näyttely koska se oli riittävän kattava. Hänen kommentti oli:

Klein, toisaalta, pitänyt tärkeänä työn, ja taata, että se julkaistaan ​​ilman muutoksia. Rohkaisemana Klein, Hilbert toisessa artikkelissa laajennettu hänen menetelmä, antaa arvionsa mahdollisimman suuren vähimmäisvalikoiman generaattorit, ja hän lähetti sen vielä kerran Annalen. Luettuasi käsikirjoituksen, Klein kirjoitti hänelle sanoen:

Myöhemmin, kun hyödyllisyys Hilbertin menetelmä yleisesti tunnustettu, Gordan itse sanoisi:

Kaikki hänen onnistumisia, että hänen todiste nostatti enemmän ongelmia kuin Hilbert olisi voinut kuvitella tuolloin. Vaikka Kronecker oli myöntänyt, Hilbert myöhemmin vastata muiden vastaavanlaista arvostelua, että "monet eri rakenteita kuuluu jonkin perusajatuksena" Toisin sanoen: "Kautta oleva todiste, Hilbert oli voinut saada rakentaminen"; "Todiste" oli "objekti". Ei kaikki olivat vakuuttuneita. Vaikka Kronecker kuolisi pian sen jälkeen, hänen konstruktivistinen filosofia jatkuisi nuorten Brouwer ja hänen kehittämällä intuitionist "koulu", paljon Hilbertin piina hänen myöhempinä vuosina. Itse Hilbert menettäisi hänen "lahjakas oppilas" Weyl ja intuitionismi "Hilbert häiritsi hänen entinen oppilas kiehtoo ideoita Brouwer, joka herätti Hilbert muistoksi Kronecker". Brouwer intuitionist erityisesti vastustivat käyttö lain syrjäytyneiden Lähi yli ääretön sarjoiksi. Hilbert vastaisi:

Axiomatization geometrian

Teksti Grundlagen der Geometrie julkaissut Hilbert vuonna 1899 ehdottaa virallisen joukko, Hilbertin aksioomat, korvaamalla perinteinen aksioomat Euclid. He välttää havaitut heikkoudet kuin Euclid, joiden teoksia oli tuolloin vielä käytetty oppikirja-muoti. On vaikea määritellä aksioomat käyttää Hilbert viittaamatta julkaisemista historian Grundlagen koska Hilbert muuttaa ja muutettu useaan kertaan. Kuvan alkuperäinen monografia oli nopeasti seurasi ranskankielinen käännös, jossa Hilbert lisätään V.2, Täydellisyys Axiom. Englanti käännös, luvan Hilbert, tehtiin EJ Townsend ja Tekijänoikeudet 1902. Tätä käännöstä sisällytetty muutokset Ranskan käännös ja niin pidetään käännös 2. painos. Hilbert jatkoi tehdä muutoksia tekstiin ja useita painoksia ilmestyi saksaksi. 7. painos oli viimeinen näkyvän Hilbert elinaikana. Uudet painokset seurasi seitsemäs, mutta tärkein teksti on olennaisesti ei tarkistettu.

Hilbert lähestymistapa viestitti siirtyminen modernin itsestään selvää menetelmää. Tässä, Hilbert oli odotettavissa Moritz Pasch n työtä 1882. aksioomeja ei oteta niin itsestään selvää totuuksia. Geometria voidaan käsitellä asioita, joista meillä on voimakas intuitioon, mutta se ei ole tarpeen antaa mitään nimenomaista merkitystä määrittelemättömiä käsitteitä. Elementtejä, kuten piste, viiva, taso, ja toiset, voidaan korvata, koska Hilbert on raportoitu sanoneen Schoenflies ja Kötter, jonka pöydät, tuolit, lasillista olutta ja muita esineitä. Se on heidän määritellään suhteet, joista keskustellaan.

Hilbert ensimmäinen luetellaan määrittelemätön käsitteet: piste, viiva, taso, makaa, betweenness, yhteneväisyyttä paria pistettä, ja kongruenssi näkökulmista. Aksioomat yhtenäistää sekä tasogeometrian ja avaruusgeometria Eukleides yhteen järjestelmään.

23 Ongelmat

Hilbert ojensi vaikutusvaltaisimman luettelo 23 ratkaisemattomia ongelmia kansainvälisen kongressin Matematiikan Pariisissa vuonna 1900. Tämä on yleensä varautunut menestynein ja syvästi pidetään kokoaminen avoimia ongelmia koskaan tuottaa yksittäisen matemaatikko.

Jälkeen uudelleen työskentelevät perustan klassisen geometrian, Hilbert voinut ekstrapoloitu muuhun matematiikan. Hänen lähestymistapa erosivat kuitenkin, myöhemmin "foundationalist" Russel Whitehead tai "encyclopedist" Nicolas Bourbaki, ja hänen nykyaikainen Giuseppe Peano. Matemaattinen yhteisö kokonaisuudessaan voisi värväytymästä ongelmia, jonka hän oli todettu avainkysymyksiä aloilla matematiikan hän otti keskeisiksi.

Harjoitus käynnistettiin puhua "ongelmat matematiikka" esiteltiin aikana toisen kansainvälisen kongressin Matematiikan pidettiin Pariisissa. Tässä on käyttöönotto puheen että Hilbert antoi:

Hän esitti vähemmän kuin puolet ongelmia kongressissa, joka julkaistiin teot kongressille. Myöhemmässä julkaisu, hän laajennettu panoraama, ja saapui muotoiluun nyt-kanoninen 23 ongelmat Hilbert. Koko teksti on tärkeä, koska tekstinselitys kysymyksistä silti voi olla kysymys väistämätön keskustelun, kun se on kysyi, kuinka moni on ratkaistu.

Osa näistä ratkaistiin lyhyessä ajassa. Toiset on keskusteltu koko 20-luvulla, muutama nyt toteutettu olla kohtuuttoman avoin tulla sulkemiseen. Jotkut jopa edelleen tänä päivänä edelleen haaste matemaatikot.

Formalismi

Vuonna huomioon, että oli tullut standardin vuosisadan puoliväliin, Hilbertin Harjoitus oli myös eräänlainen manifesti, joka avasi tien kehittämiseen formalistisen koulun, yksi kolmesta suuresta koulujen matematiikan 20-luvulla. Mukaan formalist, matematiikka on manipulointi symbolien mukaan sovittujen muodollisia sääntöjä. Siksi on itsenäinen toimintaa ajatuksen. On kuitenkin huone epäillä Hilbert omat näkemykset olivat yksinkertaistetusti formalistisen tässä mielessä.

Hilbert ohjelma

Vuonna 1920 hän ehdotti nimenomaisesti tutkimushankkeessa tunnettiin Hilbertin ohjelma. Hän halusi matematiikan muotoiltava vankka ja täydellinen looginen perusta. Hän uskoi, että periaatteessa tämä voitaisiin tehdä, osoittamalla, että:

  • kaikki matematiikan seuraa oikein valittu rajallinen järjestelmä aksioomat; ja
  • että tällaista selviö järjestelmä on todistettavasti johdonmukainen läpi joitakin keinoja, kuten epsilon calculus.

Hän näyttää olleen sekä teknisiä ja filosofisia syitä Tällä ehdotuksella. Se vahvisti hänen vastenmielisyyttä mitä oli tullut tunnetuksi ignorabimus, edelleen aktiivinen kysymys hänen aikanaan Saksan ajattelun, ja jäljittää että muotoilussa Emil du Bois-Reymond.

Tämä ohjelma on edelleen tunnistettavissa suosituin matematiikan filosofia, jossa se on yleensä kutsutaan muodollisuus. Esimerkiksi, Bourbaki ryhmä hyväksyi vesitetty ja valikoiva version riittävänä vaatimuksiin niiden hengen hankkeiden kirjallisesti ensyklopediamainen perustavaa teoksia, ja tukemalla itsestään selvää menetelmää tutkimuksen välineenä. Tämä lähestymistapa on ollut menestyksekäs ja vaikutusvaltainen suhteessa Hilbert työtä algebra ja funktionaalista analyysia, mutta ei ole harjoittaa samalla tavalla hänen etujensa fysiikan ja logiikka.

Hilbert kirjoitti vuonna 1919:

Hilbert julkaisi hänen näkemyksensä perustan matematiikan 2-volyymi työ Grundlagen der Mathematik.

Gödel työtä

Hilbert ja matemaatikot jotka työskentelivät hänen kanssaan hänen yritys oli sitoutunut hankkeeseen. Hän yrittää tukea axiomatized matematiikan lopullisina periaatteita, jotka voisivat karkottaa teoreettinen epävarmuus, oli kuitenkin lopettaa epäonnistumiseen.

Gödel osoitti, että ei-ristiriitainen virallista järjestelmää, joka oli riittävän kattava sisällyttämään ainakin aritmeettinen, ei voi osoittaa sen täydellisyyttä tavalla oman aksioomat. Vuonna 1931 hänen epätäydellisyys lause osoitti, että Hilbertin suurta suunnitelmaa oli mahdotonta kuten. Toinen seikka ei missään järkevällä tavalla yhdistää ensimmäisen pisteen, kunhan selviö järjestelmä on aidosti finitary.

Kuitenkin myöhemmät saavutukset todiste teorian ainakin selvennettävä johdonmukaisuuteen, ja se koskee teorioita keskeinen huolenaihe matemaatikot. Hilbert työ oli alkanut logiikka kurssille selvennystä; tarve ymmärtää Gödel työtä sitten johti kehittämiseen rekursio teorian ja sitten matemaattinen logiikka kuin itsenäinen tieteenala 1930-luvulla. Pohjan myöhemmille teoreettisen tietojenkäsittelyopin, vuonna Alonzo Church ja Alan Turing, kasvoi myös suoraan ulos tästä "keskustelun".

Toiminta-analyysi

Noin 1909, Hilbert omistautui tutkimuksen differentiaali- ja integraalilaskennan yhtälöt; hänen työnsä oli suoria vaikutuksia tärkeä osa nykyaikaisen funktionaalista analyysia. Jotta suorittaa nämä tutkimukset, Hilbert käyttöön käsitteen ääretön ulotteinen Euklidinen avaruus, myöhemmin nimeltään Hilbertin avaruus. Hänen työnsä tässä osassa analyysi tarjosi perustan merkittävän panoksen matematiikka fysiikan kahden seuraavan vuosikymmenen aikana, vaikka mistä odottamattomia suuntaan. Myöhemmin, Stefan Banach monistettu käsite, määritellään Banach spaces. Hilbert tilat ovat tärkeä luokan kohteiden alalla toiminnallinen analyysi, erityisesti spektrin teorian itsensä adjoint lineaarinen toimijoiden, että kasvoi ympärille aikana 20-luvulla.

Fysiikka

Vuoteen 1912, Hilbert oli lähes yksinomaan "puhdas" matemaatikko. Kun suunnittelet vierailu Bonn, jossa hän upotettiin opiskelu fysiikan, hänen kollegansa matemaatikko ja ystävä Hermann Minkowski vitsaili hän joutui viettämään 10 päivää karanteenissa ennen kuin hän voi vierailla Hilbert. Itse asiassa, Minkowski tuntuu vastuussa suurimmasta osasta Hilbertin fysiikan tutkimukset ennen 1912, mukaan lukien niiden yhteinen seminaari aiheesta vuonna 1905.

Vuonna 1912, kolme vuotta sen jälkeen hänen ystävänsä kuoleman, Hilbert kääntyi hänen keskittyä aiheeseen lähes yksinomaan. Hän järjesti olla "fysiikan tutor" itselleen. Hän alkoi opiskella kineettinen kaasu teoria ja siirtyi alkeis säteilyn teoria ja molekyylitason teoria asiasta. Senkin jälkeen sota alkoi vuonna 1914, hän jatkoi seminaareja ja luokat, joissa teoksia Albert Einstein ja muut seurattiin tiiviisti.

Vuoteen 1907 Einstein oli kehystetty perusteet teorian painovoiman, mutta sitten taisteli lähes 8 vuotta sekoittavia ongelma laittoi teorian lopulliseen muotoon. Alkukesästä 1915, Hilbert kiinnostus fysiikan oli keskitytty yleinen suhteellisuusteoria, ja hän kutsui Einstein Göttingen toimittaa viikko luentoja aiheesta. Einstein sai innostuneen vastaanoton Göttingen. Kesän aikana Einstein oppinut, että Hilbert oli myös työskentelevät alalla yhtälöihin ja redoubled omin. Aikana marraskuu 1915 Einstein julkaissut useita papereita huipentui "Kenttä yhtälöt gravitaatio". Lähes samanaikaisesti David Hilbert julkaistu "Foundations of Physics", axiomatic johtaminen kentän yhtälöt. Hilbert täysimääräisinä Einsteinin antajan teoria, eikä julkista etusija riita kentän yhtälöt koskaan välille syntyi kaksi miestä elämänsä aikana. Katso lisää prioriteetti.

Lisäksi Hilbert työtä ennakoida ja avustaa useita edistysaskeleita matemaattinen muotoilu kvanttimekaniikka. Hänen työnsä oli keskeinen osa Hermann Weyl ja John von Neumann työtä matemaattinen vastaavuudesta Werner Heisenberg n matriisi mekaniikka ja Erwin Schrödingerin aallon yhtälö ja kaimansa Hilbertin avaruus on tärkeä osa quantum theory. Vuonna 1926 von Neumann osoitti, että jos atomi valtiot ymmärrettiin vektoreina Hilbertin avaruus, niin ne vastaavat sekä Schrödingerin aaltofunktion teoria ja Heisenberg matriiseja.

Koko tämän upottamalla fysiikan, Hilbert työskennellyt laittoi tiukkuutta matematiikan fysiikan. Vaikka erittäin riippuvainen korkeampi matematiikka, fyysikot olivat yleensä "huolimaton" sen kanssa. Voit "puhdas" matemaatikko kuten Hilbert, tämä oli sekä "ruma" ja vaikea ymmärtää. Kun hän alkoi ymmärtää fysiikan ja kuinka fyysikot käyttivät matematiikan, hän kehitti yhtenäisen matemaattinen teoria mitä hän löysi, tärkeintä alalla kiinteä yhtälöt. Kun hänen kollegansa Richard Courant kirjoitti nyt klassinen menetelmät matemaattisen fysiikan kuten jotkut Hilbertin ideoita, hän lisäsi Hilbertin nimi tekijä vaikka Hilbert ei ollut vaikuttanut suoraan kirjallisesti. Hilbert sanoi "Fysiikka on liian vaikea fyysikot", mikä tarkoittaa, että tarvittava matematiikka oli yleensä pidemmälle; Courant-Hilbert kirja helpotti heille.

Lukuteoria

Hilbert yhtenäinen alalla algebrallinen lukuteoria hänen 1897 translitteratio Zahlbericht. Hän päätti myös huomattava määrä-teorian ongelma muotoileman Waring vuonna 1770. Kuten rajallisuudesta lause, hän käytti olemassa todiste, joka osoittaa on oltava ratkaisuja ongelma eikä tarjota mekanismi tuottaa vastauksia. Hän oli vähän enemmän julkaista aiheesta; mutta syntyminen Hilbert modulaarinen muotoja väitöskirjan opiskelijan tarkoittaa hänen nimensä on edelleen kiinnitetty tärkeä alue.

Hän teki useita conjectures luokan alalla teoriassa. Käsitteet olivat erittäin vaikutusvaltainen, ja hänen oma rahoitusosuus elää edelleen nimet Hilbert luokan kenttä ja Hilbert symboli paikallisen luokan alalla teoriassa. Tulokset käytti enimmäkseen todistaa 1930, kun työ Teiji Takagi.

Hilbert ei toiminut keskiosiin analytic number theory, mutta hänen nimensä on tullut tunnetuksi Hilbert-Pólyan arveluihin, syistä, jotka ovat sattumanvaraisia.

Sekalaiset keskusteluja, esseitä, ja maksut

  • Hilbertin paradoksi Grand Hotel, meditaatio outo ominaisuuksia ääretön, käytetään usein suosittu tileille ääretön kardinaali numerot.
  • Hän oli ulkomainen jäsen, Royal Society.
  • Hän sai toiseksi Bolyain palkinnon vuonna 1910.
  • Hänen kootut teokset on julkaistu useita kertoja. Alkuperäinen versioita hänen paperit sisälsivät "useita teknisiä virheitä eriasteisia"; kun kokoelma julkaistiin ensin, korjattiin ja todettiin, että tämä voitaisiin toteuttaa ilman suuria muutoksia lausunnot lauseet, yhtä poikkeusta lukuun ottamatta väitti todiste kontinuumihypoteesi. Virheet olivat kuitenkin niin paljon ja merkittävää, että se kesti Olga Taussky-Todd kolme vuotta tehdä korjauksia.
  0   0
Edellinen artikkeli MYR
Seuraava artikkeli Nandnama

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha